[Estudiantee]

Hola no sé cómo hacer este problema y me vendría bien que me explicaran un poco general sobre esto
 
 Si bien sé hacer el fácil problema de hallar los coeficientes para que por ejemplo una fórmula de cuadratura sea menor que un polinomio de algún grado, esto no sé resolverlo.

  Se considera la fórmula de cuadratura

 \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx \approx{A(f(x_0)+f(x_1))} \)

 Hallar el valor de \( A,x_0,x_1 \) para que la fórmula sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Cuál es dicho grado?.

 Saludos y gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola no sé como hacer este problema y me vendría bien que me explicaran un poco general sobre esto
 
 Si bien sé hacer el fácil problema de hallar los coeficientes para que por ejemplo una fórmula de cuadratura sea menor que un polinomio de algún grado, esto no sé resovlerlo.

  Se considera la fórmula de cuadratura

 \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx \approx{A(f(x_0)+f(x_1))} \)

 Hallar el valor de \( A,x_0,x_1 \) para que la fórmula sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Cuál es dicho grado?.

Impón que la fórmula vaya cumplíendose sobre la base canónica del espacio vectorial de polinomios, es decir, sobre los polinomios \( 1,x,x^2,x^3,\ldots \).

Si lo haces para \( 1,x,x^2 \) tendrás un sistema de ecuaciones y tres incógnitas de los cuales podrás hallar \( A,x_0,x_1 \).

Después verás que para \( x^3 \) ya falla la fórmula.

Saludos.

[Estudiantee]

pero entonces tendría que

 \( A(f(x_0)+f(x_1))=1 \)

 \( A(f(x_0)+f(x_1))=1/2 \)

 Y aquí ya no cuadra nada, entonces supongo que me equivoco con los \( f(x_i) \)

[Luis Fuentes]

Hola

pero entonces tendría que

 \( A(f(x_0)+f(x_1))=1 \)

 \( A(f(x_0)+f(x_1))=1/2 \)

 Y aquí ya no cuadra nada, entonces supongo que me equivoco con los \( f(x_i) \)

Es que tienes que susituir f(x) por el polinomio correspondiente.

Para \( f(x)=1 \) te queda:

\( A(1+1)=1 \)

Para \( f(x)=x \) te queda:

\( A(x_0+x_1)=\dfrac{1}{2} \)

Para \( f(x)=x^2 \)

\( A(x_0^2+x_1^2)=\dfrac{1}{3} \)

Saludos.

[Estudiantee]

Ah entendido ,gracias.

 Entonces me sale \( A=1/2 \)
 
\( x_0=6\pm{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{12}}{2}} \)

 y que \( x_1=1-6\pm \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{12}}{2} \)

 Es así? y cómo ser el grado máximo?

[Luis Fuentes]

Hola

Ah entendido ,gracias.

 Entonces me sale \( A=1/2 \)
 
\( x_0=6\pm{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{12}}{2}} \)

 y que \( x_1=1-6\pm \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{12}}{2} \)

 Es así? y cómo ser el grado máximo?

Revisa las cuentas. Sale:

\( x_0=\dfrac{1}{2}\pm \color{red}\dfrac{\sqrt{3}}{6}\color{black} \) y \( x_0=\dfrac{1}{2}\mp \color{red}\dfrac{\sqrt{3}}{6}\color{black} \)

Si luego compruebas que para \( x^3 \) con esos valores la fórmula falla quiere decir que el grado máximo para el cuál funciona es \( 2 \).

Saludos.

CORREGIDO

[Abdulai]

.....
Revisa las cuentas. Sale:

\( x_0=\dfrac{1}{2}\pm \sqrt{3}{6} \) y \( x_0=\dfrac{1}{2}\mp \sqrt{3}{6} \)

Si luego compruebas que para \( x^3 \) con esos valores la fórmula falla quiere decir que el grado máximo para el cuál funciona es \( 2 \).

Perdón por la intromisión.

Debe ser  \( x_0=\dfrac{1}{2}-\dfrac{ \sqrt{3}}{6} \) y \( x_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{ \sqrt{3}}{6} \)


La fórmula recién falla para grado 4.   
Sin hacer una comprobación se lo puede ver pensando en un traslado del origen a \( x=\frac{1}{2} \),  la integral de las potencias impares es siempre nula pues el intervalo es \( [-\frac{1}{2}\,,\,\frac{1}{2}] \)

[Luis Fuentes]

Hola

.....
Revisa las cuentas. Sale:

\( x_0=\dfrac{1}{2}\pm \sqrt{3}{6} \) y \( x_0=\dfrac{1}{2}\mp \sqrt{3}{6} \)

Si luego compruebas que para \( x^3 \) con esos valores la fórmula falla quiere decir que el grado máximo para el cuál funciona es \( 2 \).

Perdón por la intromisión.

Debe ser  \( x_0=\dfrac{1}{2}-\dfrac{ \sqrt{3}}{6} \) y \( x_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{ \sqrt{3}}{6} \)

Si, gracias. Eso fue una errata olvidé poner el \dfrac en LaTeX.

La fórmula recién falla para grado 4.   
Sin hacer una comprobación se lo puede ver pensando en un traslado del origen a \( x=\frac{1}{2} \),  la integral de las potencias impares es siempre nula pues el intervalo es \( [-\frac{1}{2}\,,\,\frac{1}{2}] \)

Cierto; escribí con cierta precipitación presuponiendo sin pensar que fallaría para \( n=3 \). Sea como sea la idea es la misma: se trata de encontrar cuál es el grado más bajo para el cual falla.

Saludos.