[Estudiantee]

Hola tengo una duda, en la Integración numérica hay 2 tipos de fórmulas para Simpson, valor medio y Trapecio, la normal y la compuesta. Por qué existe la compuesta?

 Como se aproxima una integral utilizando la fórmula del trapecio compuesta?

 Saludos y gracias.

[mathtruco]

Hola Estudiantee.

La idea siempre es aproximar la forma de la función a la cual se está integrando con una que sea fácil de integrar, por ejemplo un polinomio de grado 1 (como la regla del trapecio). Pero también se puede aproximar por otras funciones, y eso genera distintos métodos.

Las fórmulas compuestas dividen el intervalo de integración en trozos pequeños, y en cada uno se aplica la regla de integración simple.

Intuitivamente, si uno divide el dominio de integración en trozos cada vez más pequeños la aproximación de la integral será mejor. En wikipedia encuentras una explicación y ejemplos fáciles de seguir.

[Estudiantee]

Vale, mirando un poco me he topado con el siguiente problema.

 Deducir la fórmula compuesta de los trapecios, así como su expresión del error.
Utilizando esta fórmula, calcular una aproximación de la integral

  \( \displaystyle\int_{0}^{1}log(1+x^2)dx \)

 en la que podamos garantinzar que el error de cuadratura sea menor que 0.001

 En cuántos subintervalos hay que dividir el intervalo [0,1]?
 Una vez que ya tengo la fórmula compuesta de los trapecios y su error,  y he calculado que el número de subintervalos es 13

 Cómo hallo el error de cuadratura?

 Saludos y gracias.

[mathtruco]

En wikipedia encuentras una explicación y ejemplos fáciles de seguir.

¿Lo revisaste? Podría copiar y pegar lo que dice ahí para responder a tus preguntas, es llegar y aplicar las fórmulas. Incluso explica cómo deducirlas.

Revisa el link y si tienes dudas al respecto de como deducir algo nos cuentas.

[Estudiantee]

En wikipedia encuentras una explicación y ejemplos fáciles de seguir.

¿Lo revisaste? Podría copiar y pegar lo que dice ahí para responder a tus preguntas, es llegar y aplicar las fórmulas. Incluso explica cómo deducirlas.

Revisa el link y si tienes dudas al respecto de como deducir algo nos cuentas.

Como ya te dije aquí.

 Una vez que ya tengo la fórmula compuesta de los trapecios y su error,  y he calculado que el número de subintervalos es 13

 Cómo hallo el error de cuadratura?

 Saludos y gracias.

 Ya tengo deducida la fórmula compuesta de los trapecios y su error, así como el número de subintervalos.
 
 Te pregunto por el erro de cuadratura, que no sé calcularlo.
 
 

[mathtruco]

¿Y qué error calculaste sino el de la cuadratura? (la diferencia entre el valor de la integral exacta y su aproximación)

[Estudiantee]

No, lo que he hecho para hallar el número de intervalos es imponer que  el error sea 0.001 (menor que)

 Entonces tenía que b=1,a=0 y que el máximo de la segunda derivada de la función era 2.
 De ahí deduje el valor de h  \( h=\sqrt[ ]{0.006} \)y lo impuse en la fórmula

 N (número de intervalos) = \( \displaystyle\frac{b-a}{h} \)


  Luego podría aplicar la fórmula de los trapecios 13 veces que es muy largo
 Saludos y gracias.

[mathtruco]

Comprendo.

Tienes calculada una cota para el error \( e \), donde \( |i_{\mbox{exacta}}-i_{\mbox{aprox}}|<e \), con \( i_{\mbox{exacta}} \) y \( i_{\mbox{aprox}} \) son los valores exacto de la integral y el calculado mediante la cuadratura, respectivamente.

En general, uno sólo tiene estimaciones para la cota del error, pero no puede calcular el error exacto (a menos claro que calcule \( i_{\mbox{exacta}} \) y \( i_{\mbox{aprox}} \)). Si pudiéramos obtener fácilmente el error exacto sin necesidad de calcular el valor de la integral exacta entonces podríamos calcular fácilmente el valor exacto de la integral (sumando el error al resultado obtenido de la cuadratura).

Si te piden calcular el error exacto, podrías programar el método, seguro es más rápido que calcularlo a mano.

[Estudiantee]

Claro, así sería más rápido
Muchas gracias.