[Estudiantee]

Hola tengo dudas a la hora de resolver el siguiente problema

 Nos proponemos encontrar la solución de la siguiente ecuación en el intervalo \( [0,\pi] \):
   
   \( \displaystyle\int_{0}^{x}(\sen s)^2 ds=1 \)

1. Se pide demostrar que el problema es equivalente a hallar un punto fijo de la ecuación
 \( g(x)=2+ \displaystyle\frac{\sen(2x)}{2} \) en \( [0,\pi] \)

 2.Comprobar que la función g satisface las hipótesis del teorema del punto fijo en el intervalo \( [1.6,2]\subset{(\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{3\pi}{4})} \)

 3. Determinar el número de iteraciones para las que el error cometido sea menor que \( 10^{-8} \)

 La verdad es que el 1 no sé resolverlo, y para el 2 no entiendo por qué cambia de intervalo

 Saludos y gracias.

[mathtruco]

Hola Estudiantee.

    \( \displaystyle\int_0^x\sin^2t\,dt=\frac{{\color{red}-}\sin2x}{4}+\frac{x}{2} \)

de donde

    \( \displaystyle\int_0^x\sin^2s\,ds=1\Leftrightarrow \frac{{\color{red}-}\sin2x}{4}+\frac{x}{2}=1 \)

y al multiplicarla por dos y reordenar:

    \( x=2+\dfrac{\sin2x}{2} \)

por lo que definiendo \( g(x):=2+\dfrac{\sin2x}{2} \), el problema inical es igual a encontrar un punto fijo de la ecuación \( g(x)=x \).

Claramente tenemos que \( -1\leq g'(x)\leq 1 \), falta verificar que \( g(x)\in [0,\pi] \), y si no es así hallar un intervalo donde \( g(x)\in[a,b] \) para todo \( x\in[a,b] \). Seguramente el intervalo dado en la pregunta dos se halla calculando esto (no hice la cuenta).

La parte tres seguro es llegar y aplicar algún resultado que tienes en el cuaderno.

P.D. En rojo corregí una errata en el signo de la integral.

[Juan Pablo Sancho]

Una pequeña errata:

por lo que definiendo \( g(x):=2 \color{red} - \color{black} \dfrac{\sin2x}{2} \), el problema inical es igual a encontrar un punto fijo de la ecuación \( g(x)=x \).

Editado

El punto fijo no corresponde con el ejercicio , está mal.

Spoiler

\(  x \approx 2.483804  \)

[cerrar]

[mathtruco]

Gracias por estar atento Juan Pablo. En rojo corregí una errata en el signo, pero era en un paso intermedio (la integral) así que la función \( g \) para la cual se aplica el método es la misma. El punto fijo estaría próximo a \( 1.78882 \).

[Estudiantee]

Vale gracias.
 Para el apartado 2 lo que tengo que hacer es lo siguiente no?


Ver que \( g([1.6,2]) \) está contenido en \( (\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{3\pi}{2}) \) y que g es contractiva no?
 Es decir sustituir g(1.6) y g(2) solo? o tengo que ver que es monótona?
Gracias.

[mathtruco]

- No se necesita que \( g \) sea contractiva, sino que \( 1\leq g'(x)\leq 1 \) en el intervalo de estudio, y esto se cumple pues \( g'(x)=\cos(2x) \) para cualquier \( x \).

- Necesitamos hallar \( R=[a,b]\subseteq [0,\pi] \) donde \( g(R)=R \).

- Notamos que \( g \) es decreciente en \( [\pi/4,3\pi/4]\subset [0,\pi] \), pero \( g([\pi/4,3\pi/4]) \) es más grande que \( [\pi/4,3\pi/4] \), por lo que hay que achicarlo un poco. ¿Cuán poco? Te dan \( R=[a,b]=[0.6,2] \)

    \( g(R)=[g(b),g(a)]\approx [1.62,1.97]\subseteq R \)

donde en la primera igualdad usamos que \( g \) es decreciente.

No obtenemos exactamente que \( g(R)=R \) y eso me choca, pero quizás es "suficiente parecido" para poder aplicar el método. No veo razón para justificar este paso, más que aplicar el método y ver que aproxima a un punto fijo.

[Juan Pablo Sancho]

Gracias por estar atento Juan Pablo. En rojo corregí una errata en el signo, pero era en un paso intermedio (la integral) así que la función \( g \) para la cual se aplica el método es la misma. El punto fijo estaría próximo a \( 1.78882 \).

Entonces nada