[Michel]

Construir un triángulo conociendo las posicioes dei vértice B, del baricentro G y del pie V de la bisectriz del ángulo A,

[Michel]

Como viene ocurriendo con cierta frecuencia, más de la deseada, siempre muy molesta, y por la que pido disculpas a todos, he cometido un error en el enunciado:

se conoce la posición del vértice A, no del B.

Pido perdón por las molestias ocasionadas y procuraré que no vuelva a ocurrir.

Saludos.

[EnRlquE]

Hola Michel.

 Yo creo que el problema, tal como estaba al inicio, está bien. O al menos (suponiendo que las posiciones de \( B,\;G \) y \( V \) corresponden a un triángulo) el triángulo buscado queda bien determinado con los datos. Y puede que hasta sea construible, caso en el que estaría bien propuesto. Lo reduje un poco, pero me falta una idea feliz que me ayude a terminar. Si me doy un tiempo, pienso en el enunciado original y encuentro una idea feliz (¡muchas coincidencias necesarias! ) publico algo al respecto.

 Por lo pronto dejo bajo el siguiente spoiler mi solución del problema con la corrección en su enunciado.

Intentar el problema antes de desplegar

La construcción que encontré es la siguiente

Primero ubicamos el punto \( M \) en la recta que pasa por \( A \) y \( G \) de modo que \( AG=2(GM). \) De esta forma tenemos que el lado \( BC \) del triángulo que buscamos descansa sobre la recta \( \ell \) que pasa por \( V \) y \( M \) (\( M \) será el punto medio de \( \overline{BC} \)). Luego ubicamos \( E \) en la intersección de la recta que pasa por \( A \) y \( V \) con la perpendicular a \( \ell \) que pasa por \( M \) (llamaremos \( \gamma \) a esta permendicular). En seguida ubicamos \( O\in\gamma \) de modo que \( OA=OE \) (esto lo podemos hacer usando una perpendicular que pase por \( F, \) el punto medio de \( \overline{AE}, \) como en la animación). Ahora trazamos la circunferencia centrada en \( O \) que pasa por \( A. \) El segmento \( BC \) queda determinado al intersectar \( \ell \) con la dicha circunferencia, y de esta forma conseguimos el triángulo \( ABC \) que buscábamos.

[cerrar]

Saludos,

Enrique.

[Ignacio Larrosa]

Yo creo que el problema, tal como estaba al inicio, está bien. O al menos (suponiendo que las posiciones de \( B,\;G \) y \( V \) corresponden a un triángulo) el triángulo buscado queda bien determinado con los datos. Y puede que hasta sea construible, caso en el que estaría bien propuesto. Lo reduje un poco, pero me falta una idea feliz que me ayude a terminar. Si me doy un tiempo, pienso en el enunciado original y encuentro una idea feliz (¡muchas coincidencias necesarias! ) publico algo al respecto.

Yo creo que tal y como estaba tiene dos soluciones, excepcionalmente una, o ninguna, pero en general no es constructible con regla y compás. Tal y como lo estaba resolviendo yo, tengo que interceptar una recta con una curva de grado superior al segundo ...

Mi solución con el enunciado corregido creo que es idéntica a la tuya:

Spoiler



• Se lleva sobre la recta AG a partir de G, la mitad del segmento AG, para determinar el punto medio M del lado BC.
• Por M y V se traza la recta \( r_{BC} \), que contendrá al lado BC.
• Se trazan la bisectriz del ángulo A y la mediatriz del lado BC que se cortan en D, sobre la circunferencia circunscrita, pues \( b_A\textrm{ y }m_a \) bisecan al arco BC.
• Se traza la mediatriz de AD, que corta a \( m_a \) en el circuncentro O del triángulo.
• Con centro en O y pasando por A, se traza la circunferencia circunscrita al triángulo, que corta en B y C a la recta \( r_{BC} \), lo que completa la construcción.

Me había comprometido con Michel a no publicarla muy pronto, pero creo que ahora ya puedo ...

[cerrar]

Saludos,

[EnRlquE]

Hola.

Yo creo que tal y como estaba tiene dos soluciones, excepcionalmente una, o ninguna, pero en general no es constructible con regla y compás. Tal y como lo estaba resolviendo yo, tengo que interceptar una recta con una curva de grado superior al segundo ...

 De acuerdo, en mi caso no me había percatado que el camino que estaba siguiendo pasaba por resolver una ecuación cúbica  .

Saludos,

Enrique.