[sugata]

Hace poco pregunté por alguna demostración geométrica del UTF.

Aquí el hilo en cuestión 

Sólo hubo una respuesta. el_manco me indicó un par de propuestas que no prosperaron, pero no iban por donde yo pensaba.

Partamos de Pitágoras:

Obviando los triángulos, digamos que el área de dos cuadrados sumados nos dan un tercero.
También está demostrado que si en esos cuadrados los lados son naturales también se puede cumplir.

\( 5^2=4^2+3^2 \)

El tema es que si \( a{,}b{,}c \) son naturales, las diagonales también lo cumplen siendo una ecuación de enteros.

La diagonal de un cuadrado de lado \( l \) es \( \sqrt[ ]{2}l \), con lo que Pitagoras aplicado a las diagonales sería.

\( 2a^2=2b^2+2c^2 \)

Es obvio que si \( a{,}b{,}c{,} \) son naturales, en esta ecuación, sacando factor común, ambos miembros siguen siendo naturales.


Vamos a \( \mathbb{R}^3 \)

Aquí es donde veo el problema de la "absurda" demostración.

El volumen de la suma de dos cubos nos da el volumen de un tercero, pero, ¿Qué pasa con la diagonal del cubo?

Es lógico pensar que pasará lo mismo en tres dimensiones. (lógico pensar, pero, ¿habría que probarlo, verdad?)

Si miramos la diagonal de un cubo de lado \( l \) es \( \sqrt[ ]{3}l \), pero elevando al cubo.

\( 3\sqrt[ ]{3}a=3\sqrt[ ]{3}b+3\sqrt[ ]{3}b \)

Obviamente, ningún miembro es natural.

Entiendo que el problema es lo que comento en la frase en azul.
Es demasiado simple y podría probar el UTF completo, cosa que entiendo que un "anumérico" como yo no podría probar.

Y este hilo acaba con un matemático diciendo donde está el fallo y yo dando las gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hace poco pregunté por alguna demostración geométrica del UTF.

Aquí el hilo en cuestión 

Sólo hubo una respuesta. el_manco me indicó un par de propuestas que no prosperaron, pero no iban por donde yo pensaba.

Partamos de Pitágoras:

Obviando los triángulos, digamos que el área de dos cuadrados sumados nos dan un tercero.
También está demostrado que si en esos cuadrados los lados son naturales también se puede cumplir.

\( 5^2=4^2+3^2 \)

El tema es que si \( a{,}b{,}c \) son naturales, las diagonales también lo cumplen siendo una ecuación de enteros.

La diagonal de un cuadrado de lado \( l \) es \( \sqrt[ ]{2}l \), con lo que Pitagoras aplicado a las diagonales sería.

\( 2a^2=2b^2+2c^2 \)

Es obvio que si \( a{,}b{,}c{,} \) son naturales, en esta ecuación, sacando factor común, ambos miembros siguen siendo naturales.


Vamos a \( \mathbb{R}^3 \)

Aquí es donde veo el problema de la "absurda" demostración.

El volumen de la suma de dos cubos nos da el volumen de un tercero, pero, ¿Qué pasa con la diagonal del cubo?

Es lógico pensar que pasará lo mismo en tres dimensiones. (lógico pensar, pero, ¿habría que probarlo, verdad?)

Si miramos la diagonal de un cubo de lado \( l \) es \( \sqrt[ ]{3}l \), pero elevando al cubo.

\( 3\sqrt[ ]{3}a=3\sqrt[ ]{3}b+3\sqrt[ ]{3}b \)

Obviamente, ningún miembro es natural.

Entiendo que el problema es lo que comento en la frase en azul.
Es demasiado simple y podría probar el UTF completo, cosa que entiendo que un "anumérico" como yo no podría probar.

Y este hilo acaba con un matemático diciendo donde está el fallo y yo dando las gracias

Pero es que el pensar que porque se cumpla la relación \( a^n+b^n=c^n \) con variables enteras, tenga que cumplirse también que la relación análoga para las diagonales de los correspondientes \( n \)-cubos sea con sumandos enteros (\( (\sqrt{n}a)^n+(\sqrt{n}b)^n=(\sqrt{n}c)^n \)) es gratuito. No le veo ninguna base ni ningún sentido.

Por ejemplo para \( n=4 \), la relación con las diagonales si darían sumandos enteros pero sigue sin haber soluciones enteras no triviales a la ecuación \( a^4+b^4=c^4 \).

Saludos.

[feriva]

Hola, Sugata, te doy mi opinión de aficionado.

Doctores tiene la Iglesia, que se suele decir, pero yo diría que en la realidad geométrica,  física y visible, el problema sí tiene solución; porque empíricamente no podemos distinguir un número racional de uno irracional haciendo mediciones.

Si uno piensa en este simple ejemplo se da cuenta

\( 0,183673469+0,326530612=0,510204081 \).

Multiplicando por 7 al cuadrado se obtiene \( 3^{2}+4^{2}=5^{2} \); en otras ternas y en casos análogos se multiplicará por el cuadrado de cualquiera de los otros infinitos enteros y también pasará lo mismo.

 Dado eso así, con números llenos de decimales, cómo saber cuáles son ternas pitagóricas y cuáles no, si los numeradores pueden ser arbitrariamente grandes y los denominadores arbitrariamente pequeños; porque ya ves que ése es el típico ejemplo, el primero que se le ocurre a uno, pero fíjate si hay ternas para elegir. Y eligiendo podemos tener números de tantos decimales no periódicos (hasta donde alcance nuestra vista, quiero decir) como queramos.

Por esto creo que no es un problema propio para resolver mediante la geometría o sólo con ella; hace falta usar cosas que distingan, teóricamente, lo infinito de lo no infinito.

Saludos.

[Proyecto_dos]

Hola,

Hace poco pregunté por alguna demostración geométrica del UTF.

Aquí el hilo en cuestión 

Sólo hubo una respuesta. el_manco me indicó un par de propuestas que no prosperaron, pero no iban por donde yo pensaba.

Ando ya un tiempo retirado de estas cuestiones pero me parece de recibo contestarte.

Hace unos cuantos años intenté lo de "Fermat" geométricamente. Estaba convencido y tardé mucho tiempo (a través de mis discusiones en el Foro) en darme cuenta de que no era un atajo. A parte del motivo por el que te dice el_manco; una de las cosas que fue determinante para mí fue comprobar como cualquier cosa dibujada sobre el papel tiene su traducción algebraica en matemáticas. La geometría puede ser un bonito e interesante "esquema" para indicar una solución; pero la solución en sí tienes que batírtela algebraicamente.

¿Qué diferencia geométrica existe entre dibujar un cubo de lado  \( \pi \)  y un cubo de lado 3,2? Llevar el trazo un poco más allá. Piénsalo

Pero es que es más complicado todavía. ¿Qué diferencia aritmética existe entre el resultado de por ejemplo  \( 22^2 \)  y el de  \( 22\cdot{23} \) ? No la hay por ejemplo en el sentido de si se distinguen en alguna regla sobre la paridad, sentido negativo o positivo, magnitud o carácter entero del resultado.

La solución clásica que se ha obtenido es encontrar una contradicción del tipo "descenso infinito" en la que salvo en el caso (supersimétrico -diría yo-) del n = 4, hace falta utilizar otro tipo de "enteros" con otro tipo de relaciones aritméticas más profundas y extensas que faciliten eso mismo (no otra cosa).

Por último decir que no te parezca que te estoy diciendo que no lo sigas intentando. Si tienes una idea, claro que sí, para eso está esta sección del Foro. Pero por si quieres saber a qué conclusiones hemos llegado otros que como yo también lo hemos intentado y no caer en lo mismo; he escrito esto.


Un saludo,

[sugata]

Disculpad la tardanza, no tenía datos y os merecéis una respuesta detallada.

el_manco, has dado en el clavo con mi frase en azul. Sabía que por ahí venía el fallo, pero quería saber por qué. Aunque luego me dí cuenta que era una extrapolación absurda.
Que Pitagoras se cumpla en 2D no implica que se cumpla en 3D, de hecho eso es el UTF.

feriva, sabía que estaba equivocado, alguien más listo que yo hubiera buscado ese camino antes.

Proyecto_2, gracias por tus palabras. Es la primera vez que afrontó un problema de este tipo y sabía que estaba errado. Este tipo de problemas me atraen como a cualquier aficionado,
pero sé fehacientemente que no tengo nivel para atacarlo.

En fin, sólo queda esa curiosidad geométrica que si cuadrados de lados naturales cumplen Pitágoras, sus diagonales también cumplen Pitágoras en naturales.

Gracias a los tres.
Un gran saludo.