[Constantin]

Hola, actualmente tengo bastantes problemas intentando asediar el siguiente ejercicio.

Sea \( F: \mathscr P (A) \rightarrow \mathscr P (A) \) tal que

$$
X \subseteq Y \Longrightarrow F(X) \subseteq F(Y)
$$

para cada \( X,Y \subseteq A \). Ahora definimos unos conjuntos \( B \) y \( C \),

$$
B := \bigcap \{ X \subseteq A | F(X) \subseteq X \},
$$
$$
C := \bigcup \{ X \subseteq A | X \subseteq F(X) \}.
$$

Entonces hay que demostrar lo siguiente:

I) \( F(B) = B \) y \( F(C) = C \).

II) Sea \( X \subseteq A \). Si \( F(X) = X \), entonces \( B \subseteq X \subseteq C \).

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( F: \mathscr P (A) \rightarrow \mathscr P (A) \) tal que

$$
X \subseteq Y \Longrightarrow F(X) \subseteq F(Y)
$$

para cada \( X,Y \subseteq A \). Ahora definimos unos conjuntos \( B \) y \( C \),

$$
B := \bigcap \{ X \subseteq A | F(X) \subseteq X \},
$$
$$
C := \bigcup \{ X \subseteq A | X \subseteq F(X) \}.
$$

Entonces hay que demostrar lo siguiente:

I) \( F(B) = B \) y \( F(C) = C \).

II) Sea \( X \subseteq A \). Si \( F(X) = X \), entonces \( B \subseteq X \subseteq C \).

¿Qué has intentado?.

Por ejemplo para I. Veamos primero que \( F(B)\subset B \). Para ello hay que comprobar que dado \( X\subset A \) tal que \( F(X)\subset X \) se cumple que \( F(B)\subset X \).

Pero como \( B\subset X \), por hipótesis \( F(B)\subset F(X) \) y como además \( F(X)\subset X \), lo tenemos.

Pero por otra parte si \( F(B)\subset B \) entonces \( F(B) \) es uno de los conjuntos que intersecamos en la definición de \( B \) y así \( B\subset F(B).
 \)

Intenta algo con los demás...

Saludos.

[Fernando Revilla]

Otra idea, por ejemplo para \( F(B)\subseteq{B}. \) Escribiendo \( B=\displaystyle\bigcap_{F(X)\subseteq X}X \) y usando que el transformado de intersecciones está contenido en las intersecciones de los transformados,
          \( \cancel{\displaystyle F(B)=F\left(\bigcap_{F(X)\subseteq X}X\right)\subseteq \bigcap_{F(X)\subseteq X} F(X)\subseteq \bigcap_{F(X)\subseteq X} X =B.} \)

Editado. El argumento anterior es incorrecto. Tuve un despiste al considerar \( F \) como función definida en \( A \) cuando lo está en \( \mathscr P (A) \).

[Constantin]

Hola de nuevo.

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@el_manco.

¿Qué has intentado?.

Pues originalmente solo había hecho intentos de probar la igualdad \(  F(B) = B  \) por RAA pero no lograba completarla.

Por ejemplo para I. Veamos primero que \( F(B)\subset B \). Para ello hay que comprobar que dado \( X\subset A \) tal que \( F(X)\subset X \) se cumple que \( F(B)\subset X \).

Pero como \( B\subset X \), por hipótesis \( F(B)\subset F(X) \) y como además \( F(X)\subset X \), lo tenemos.

Pero por otra parte si \( F(B)\subset B \) entonces \( F(B) \) es uno de los conjuntos que intersecamos en la definición de \( B \) y así \( B\subset F(B).
 \)

De esta demostración me he dado cuenta de algo y es que no me acordaba para nada del resultado: \(  \bigcap A \subseteq X  \) para todo \(  X \in A  \).

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@Fernando Revilla.

Otra idea, por ejemplo para \( F(B)\subseteq{B}. \) Escribiendo \( B=\displaystyle\bigcap_{F(X)\subseteq X}X \) y usando que el transformado de intersecciones está contenido en las intersecciones de los transformados,
          \( \displaystyle F(B)=F\left(\bigcap_{F(X)\subseteq X}X\right)\subseteq \bigcap_{F(X)\subseteq X} F(X)\subseteq \bigcap_{F(X)\subseteq X} X =B. \)

Vaya que es elegante el argumento, aunque no se me ocurre como demostrar el teorema que usas. Lo mas cercano que tengo es el resultado de que \(  F[ \bigcap A ] \subseteq \bigcap \{ F[ X ] | X \subseteq A \}  \) y solo podría usar \(  B = \bigcap A  \) si \(  B \subseteq \mathrm{dom}\ F  \) pero en este caso \(  B \in \mathrm{dom}\ F  \).

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A continuación escribo los argumentos que se me han ocurrido para \(  F(C) = C  \) y para (II). Por comodidad hago las siguientes definiciones:
$$
\Phi := \{ X \subseteq A | F(X) \subseteq X \},
$$
$$
\Psi := \{ X \subseteq A | X \subseteq F(X) \}.
$$
\(  \textrm{Sea } y \in C  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  y \in \bigcup \Psi  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  y \in Z  \) para algún \(  Z \in \Psi  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  Z \subseteq A,\ Z \subseteq F(Z),\ Z \subseteq C  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  y \in F(Z),\ F(Z) \subseteq F(C)  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  y \in F(C)  \). Y ya que \(  y  \) era arbitraria, entonces \(  C \subseteq F(C)  \). Pero a su vez podemos deducir \(  F(C) \subseteq F(F(C))  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  F(C) \in \Psi  \) y así terminamos con \(  F(C) \subseteq C  \).

Ahora sea \(  X \subseteq A  \) tal que \(  F(X) = X  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  F(X) \subseteq X  \) y también \(  X \subseteq F(X)  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  X \in \Phi,\ X \in \Psi  \) con lo cual finalmente tendremos que \(  B \subseteq X \subseteq C  \).

[Fernando Revilla]

Otra idea, por ejemplo para \( F(B)\subseteq{B}. \) Escribiendo \( B=\displaystyle\bigcap_{F(X)\subseteq X}X \) y usando que el transformado de intersecciones está contenido en las intersecciones de los transformados,
          \( \displaystyle F(B)=F\left(\bigcap_{F(X)\subseteq X}X\right)\subseteq \bigcap_{F(X)\subseteq X} F(X)\subseteq \bigcap_{F(X)\subseteq X} X =B. \)

Vaya que es elegante el argumento, aunque no se me ocurre como demostrar el teorema que usas.

Tan elegante como atolondrádamente incorrecto. Mira la autocorreción.

[Luis Fuentes]

Hola

A continuación escribo los argumentos que se me han ocurrido para \(  F(C) = C  \) y para (II). Por comodidad hago las siguientes definiciones:
$$
\Phi := \{ X \subseteq A | F(X) \subseteq X \},
$$
$$
\Psi := \{ X \subseteq A | X \subseteq F(X) \}.
$$
\(  \textrm{Sea } y \in C  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  y \in \bigcup \Psi  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  y \in Z  \) para algún \(  Z \in \Psi  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  Z \subseteq A,\ Z \subseteq F(Z),\ Z \subseteq C  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  y \in F(Z),\ F(Z) \subseteq F(C)  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  y \in F(C)  \). Y ya que \(  y  \) era arbitraria, entonces \(  C \subseteq F(C)  \). Pero a su vez podemos deducir \(  F(C) \subseteq F(F(C))  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  F(C) \in \Psi  \) y así terminamos con \(  F(C) \subseteq C  \).

Bien. También podrías evitar argumentar con los elementos. Simplemente si \( X\in \Psi \), entonces \( X\subset F(X) \) y \( X\subset C \); por tanto \( F(X)\subset F(C) \) y así \( X\subset F(X)\subset F(C).
 \).

Ahora sea \(  X \subseteq A  \) tal que \(  F(X) = X  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  F(X) \subseteq X  \) y también \(  X \subseteq F(X)  \) \(  \Longrightarrow  \) \(  X \in \Phi,\ X \in \Psi  \) con lo cual finalmente tendremos que \(  B \subseteq X \subseteq C  \).

Bien.

Saludos.