Vamos mejorando, pero todavía hay un par de detalles que matizar:
En el axioma de elección, tal y como lo has redactado, podría entenderse que la función asigna a cada elemento de un conjunto dado uno elemento de cualquiera de los elementos del conjunto, y no es así. Sería mejor que dijeras que relaciona cada uno de sus elementos con un elemento de dicho elemento.
Y en cuanto al axioma de extensionalidad, me parece muy equívoco decirlo así. No es un axioma que postule la existencia ni la no existencia de nada. El conjunto de los números reales no negativos es igual al conjunto de los números reales con raíz cuadrada. Ahí tienes dos conjuntos iguales, claro que, como son iguales, no son dos, sino uno. Pero eso es una trivialidad que se cumple aun sin suponer el axioma de extensionalidad: no existen dos cosas iguales, porque si son iguales, iguales, son la misma cosa.
Lo que dice el axioma de extensionalidad es que si dos conjuntos no son iguales, tienen elementos distintos. No dice que no existan conjuntos iguales, sino que precisa en qué tienen que distinguirse dos conjuntos que no sean el mismo.
