[Michel]

Las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares.
Demostrar que los puntos medios de los lados son concíclicos.

[sugata]

Me encanta ver vuestras demostraciones, pero aquí me tiene que explicar que son "concíclicos".
Gracias de antemano.

[EnRlquE]

Hola sugata.

 Estava a punto de escribir una solución y me dí cuenta de tu respuesta  . Mejor la pospongo. Decimos que los puntos \( P_{1},P_{2},\dots,P_{n} \) son concíclicos si existe una circunferencia \( {\cal C} \) tal que \( P_{1},\dots,P_{n}\in{\cal C} \).

Saludos,

Enrique.

[sugata]

Gracias, así podré seguir mejor la solución.
Me encanta la geometría sintética, pero nunca me he puesto a fondo con ella.
Aunque me bajé los Elementos de Euclides.

[delmar]

Hola michel

Aquí va una solución. Adjunto un esquema. Las diagonales son \( \overline{AB} \) y \( \overline{CD} \), el cuadrilátero es \( ACBD \), los puntos medios son :M,N,S,T y parecen conformar un rectángulo. Y en efecto son un rectángulo. Lo demostramos :

\( \Delta CBD\sim{\Delta NBS} \) por tener un ángulo común y sus lados adyacentes proporcionales, el primer triángulo es el doble del segundo. Además \( CD \) es paralelo a \( NS \) y ambos perpendiculares a \( AB \).
Lo mismo ocurre con los triángulos \( \Delta ACD \sim{\Delta AMT} \). Luego \( \overline{MT}=\overline{MS} \) y son paralelos.
Algo semejante ocurre con el otro par de triángulos y se concluye que \( \overline{MN}=\overline{TS} \) y son paralelos. Y mas aún son perpendiculares formando pues \( MNST \) un rectángulo. Propiedad de los rectángulos es que sus diagonales se intersectan y su punto de intersección equidista de los vértices. Luego M,N,S,T, pertenecen a una circunferencia, es decir son concíclicos.

Saludos.