Bueno, aunque estaría muy bien conseguir la inducción transfinita por métodos finitistas, era uno de los propositos del llamado programa de Hilbert. El problema es que Gödel demostró con su primer teorema que era imposible crear una teoría isomorfa a una que contuviera inducción transfinita que fuera finitista. La inducción transfinita, que requiere el axioma del infinito y el axioma de partes, es una generalización a conjuntos infinitos del principio de inducción de PA2. El problema es que las teorías de conjuntos (bueno, no todas, en NFU+axioma de elección+axioma de computo, que es más debil que ZFC y relativamente consistente con respecto a esta, el axioma de infinito es un teorema, si admitimos como noción primitiva el par ordenado)
Naturalmente, al contrario de estructuras, como los números reales, que sabemos que son infinitos, pero podemos representarlos no como puntos como es habitual, sino con vectores libres pero restringiendo su movimiento al eje de coordenadas ya tenemos un modelo para\( (\mathbb{R},+,>) \). Vale, nos falta sólo las propiedades del producto y la distributiva que une las 2. Sin embargo, hay una axiomática de Tarski, que nunca he conseguido ver, en el que el producto no es un término primitivo, es decir, que las fórmulas que tratan de productos se pueden traducir en fórmulas de sumas. Esto en los numeras naturales es trivial, pero en los reales, no lo es en absoluto
Aprovecho ya mi comentario para preguntar, ¿alguien conoce la axiomatización de los reales de Tarski?
En cambio, a la hora de elegir la jerarquía de Von Neumann como modelo de ZFC, cuando pasamos del nivel V_{\omega}, ese infinito se nos escapa a la imaginación igual que el espacio de 4 dimensiones, o nuestro espacio tridimensional, que aunque es casi plano, es en realidad curvo, pero nuestro cerebro hasta al menos el momento de la evolución en la que se encuentra el ser humano, no es capaz de visualizarlo
De hecho, esa es la razón por la que sólo algunos libros de matematícas, llegan a aplicar recursivamente hasta los transfinito el axioma de unión y el de partes, lo que plantea serias dudas acerca de la consistencia de ZFC, cosa que en las lógicas de orden finito no ha lugar. Es por eso que salvo algún libro muy técnico de alguna disciplina matemática, todos los libros de Enseñanzas de matematicas no universitarias, y la mayoría de los libros de las carreras experimentales, trabajan con lógicas de orden finito, sin preocuparse demasiado hasta que orden máximo de lógica necesitan aplicar.
Los primerordenistas aluden a la falta de un sistema deductivo que puede ser recursivo y correcto, en lógica de cualquier orden, aunque nunca completo, por el teorema de Gödel, pero el problema es el mismo que trabajando en teoría de conjuntos, tampoco puede ser completa exactamente por el teorema de Gödel. Todos las paradojas de Cantor son consecuencia de aplicar inducción transfinita, o de la circularidad en axiomas y definiciones.
Podría interesarte, aunque en la física en concreto no sirve para formular la lógica de 2º orden, los distintos sistemas de la llamada matemática reversa, que es lo más parecido al programa de Hilbert, y que todas ellas son más debiles que PA2, pero es sorprendente la cantidad de teoremas, aunque sólo es a nivel de curiosidad matemática, que se pueden demostrar
