Hola
Tengo la siguiente recurrencia:
\( a_n = 4a_{n-1} + 3n^2-2kn+2, n\geq{0} \textrm{ con }a_0=2, k\in{\mathbb{R}} \)
De la cual tengo que hallar la solución general.
Mi problema es que hice la solución homogénea y la particular y me da parecido a el resultado del wolfram alpha pero difiere un poco por lo tanto se que hay una de las dos partes que estoy haciendo mal.
La particular creo que es la que esta bien mientras que la homogénea me parece que es la que esta incorrecta. Las deje con la \( k \)
La homogénea me quedo \( a_n = 2*4^n \)
La particular \( n^2+(\displaystyle\frac{-2k+8}{3})n+(\displaystyle\frac{-8k+26}{9}) \)
La solucion general es simplemente la suma de ambas pero me da un poco distinta con respecto a el wolfram
\( a_n = \displaystyle\frac{1}{9} (-6kn +(k-1)2^{2n+3}-8k+9n^2+24n+26) \)
Si saco \( \displaystyle\frac{1}{9} \) como factor común me queda todo igual menos el \( (k-1)2^{2n+3} \)
La solución general de la homogénea (sin imponer de momento la condición inicial) es claramente:
\( a_n=c\cdot 4^n \)
Intentado buscar una solución particular de la forma \( a_n=An^2+Bn+C \) en:
\( a_n=4a_{n-1}+3n^2-2kn+2 \)
queda:
\( An^2+Bn+C=4A(n-1)^2+4B(n-1)+4C+3n^2-2kn+2 \)
Igualando coeficientes de \( n \) y resolviendo se obtiene:
\( A=-1,\qquad B=\dfrac{2k-8}{3},\qquad C=\dfrac{8k-26}{9} \)
La solución general (sumando la particular más la de la homogénea) es:
\( a_n=c4^n-n^2+\dfrac{2k-8}{3}n+\dfrac{8k-26}{9} \)
Impón \( a_0=2 \) para hallar \( c \).
Saludos.
