[Michel]

Construir un triángulo conociendo las posiciones de un vértice, del ortocentro y del circuncentro.

[EnRlquE]

Hola michel.

 Después de mucho tiempo sin participar en el subforo adjunto mi solución bajo el spoiler 

Spoiler

Supongamos que el vértice conocido es \( A, \) llamemos \( H \) al ortocentro y \( C \) al circuncentro. Primero trazamos la circunferencia \( {\cal C} \) centrada en \( C \) que pasa por \( A \) y luego ubicamos \( G \) en \( \overline{HC} \) de modo que \( HG=2GC, \) como se muestra en a siguiente figura

 Luego trazamos \( \overline{CP} \) paralelo a \( \overline{AH} \) y llamamos \( M \) a la intersección de \( \overline{CP} \) y la recta \( \ell \) que pasa por \( A \) y \( G. \) Resulta que la cuerda \( \overline{BC} \) perpendicular a \( \overline{CP} \) que pasa por \( M \) es uno de los lados del triángulo que buscamos.

Nota: La anterior construcción funciona porque el punto \( G \) que ubicamos es el baricentro del triángulo \( ABC. \) La recta de Euler está muy relacionada con la construcción que propongo.

[cerrar]

Saludos,

Enrique.

[EnRlquE]

Hola.

 Acabo de percatarme que puedo simplificar mi anterior construcción, describo la modificación bajo el spoiler

Spoiler

Repasando la anterior construcción notamos que el objetivo principal es encontrar el punto \( M. \) Para esto ahora vamos a hacer lo siguiente (nuevamente asumimos que los puntos conocidos son \( A \) \( H \) y \( C \), con la notación de mi anterior mensaje).

 Entonces primero ubicamos el punto \( R \) de forma que \( HACR \) sea un paralelogramo. Luego trazamos la circunferencia \( \cal C \) centrada en \( C \) pasando por \( A, \) como se muestra en la siguiente figura

Ubicamos los puntos \( B,C\in{\cal C} \) de modo que \( \overline{BC} \) esté contenido en la mediatriz de \( \overline{CR}. \)

\( \bullet \) En esta construcción estamos aprovechando que en todo triangulo (con las notación que hemos establecido) se cumple que \( AH=2(CM), \) probar esto es un buen ejercicio (mucho más fácil de probar que las propiedades de la recta de Euler que usamos en la primera construcción).

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Saludos,

Enrique.

[Michel]

Otra forma.

Supongamos el problema resuelto, como casi siemnpre, siendo ABC el triángulo pedidod el pie de la altura desde A.

Se demuestra fácilmente (hacerlo) que el simétrico H' del ortocentro H respecto de un lado, por ejemplo el BC, pertenece a la circunferencia circunscrita; entonces D es el punto medio de HH'.

La construcción será:

1. Circunferencia de centro O y radio OA.

2. Recta A, que corta a la circunferencia en H'.

3. Mediatriz de HH'.

Los puntos de intersección de esta recta con la circunferencia determinan los vértices B y C del triángulo pedido.