[Rectilíneo]

Hola,

"Sobre dos de los lados, \( AB \) y \( BC \), de un triángulo equilátero de lado \( a \), hemos dibujado sendos cuadrados \( ADEB \) y \( BFGC \), como muestra la figura. ¿Cuál es la longitud del segmento \( DG \)?"




He comenzado aplicando Pitágoras en el segmento del cuadrado de abajo:

\( {l_1}^2=a^2+(\displaystyle\frac{2}{3}a)^2 \)

\( l_1=\displaystyle\frac{\sqrt{13}}{3}a \)

Para el tramo que pasa por el triángulo, saco \( l_2 \) por semejanza:

\( l_2=\displaystyle\frac{a}{3} \)

Por último:

\( DG=2l_1+l_2=\displaystyle\frac{2\sqrt13}{3}a+\displaystyle\frac{1}{3}a=\displaystyle\frac{2\sqrt13+1}{3}a\approx{2,737a} \)


Pero he mirado el solucionario y el resultado es:

\( DG=(\sqrt3+1)a\approx{2,732a} \)


Mi solución tiene un error de \( 0,005a \)

¿Por qué? Seguro que he hecho algo mal pero los resultados son muy cercanos...

Saludos.

[robinlambada]

Hola:

Hola,

"Sobre dos de los lados, \( AB \) y \( BC \), de un triángulo equilátero de lado \( a \), hemos dibujado sendos cuadrados \( ADEB \) y \( BFGC \), como muestra la figura. ¿Cuál es la longitud del segmento \( DG \)?"


He comenzado aplicando Pitágoras en el segmento del cuadrado de abajo:

\( {l_1}^2=a^2+(\displaystyle\frac{2}{3}a)^2 \)

Esta afirmación es gratuita, el segmento DG no tiene porque cortar al segmento AB en \( \frac 23 \) de AB. y tampoco debe ser \( l_2=\frac a3
 \)
Fijate que que el trapecio isoseles DACG , si trazamos perpendiculares por los extremos de la base menor AC , de valor a, por dividir a este en dos triángulos rectángulos de ángulos 60º y 30º y la hipotenusa CG y DA valen también a.

\( \left |{\overline{AC}}\right |=\left |{\overline{CG}}\right |=\left |{\overline{DA}}\right |=a \)

Por ello \( \left |{\overline{DG}}\right |=a+2\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}a=a(1+\sqrt[ ]{3}) \)

Saludos.

[delmar]

Hola

Estas asumiendo una falsedad, en rigor primero hay que demostrar que \( \overline{DG} \) es paralelo a \( \overline{AC} \), para ello hay que considerar la altura sobre el segmento \( \overline{AC} \), que obviamente pasa por \( B \) y luego ver que ángulo forma \( \overline{DG} \) con \( \overline{CG} \) y de ahi deducir \( \overline{DG} \), la respuesta del solucionario es correcta.

[robinlambada]

Hola delmar.

Hola

Estas asumiendo una falsedad, en rigor primero hay que demostrar que \( \overline{DG} \) es paralelo a \( \overline{AC} \), para ello hay que considerar la altura sobre el segmento \( \overline{AC} \), que obviamente pasa por \( B \) y luego ver que ángulo forma \( \overline{DG} \) con \( \overline{CG} \) y de ahi deducir \( \overline{DG} \), la respuesta del solucionario es correcta.

Entiendo que cambias el sujeto después de la primera frase, es decir supongo que la falsedad se la atribuyes a Rectilineo y la falta de rigor a mi, es cierto no he demostrado el paralelismo de los segmentos, pero me parece muy fácil de ver por la simetría del dibujo respecto a la mediatríz del segmento AC. ( quizás debería haber dicho: justifica tú que se trata de un trapecio isóseles)

En todo caso gracias por puntualizar.

Saludos.

[delmar]

Hola robinlambada

En realidad mi comentario, se refiere a lo expuesto por Rectilineo, se entiende que los aportes de otros foristas, son ideas y ayudas a resolver el problema. Y tu aporte es constructivo y correcto. Saludos.

[robinlambada]

Hola robinlambada

En realidad mi comentario, se refiere a lo expuesto por Rectilineo, se entiende que los aportes de otros foristas, son ideas y ayudas a resolver el problema. Y tu aporte es constructivo y correcto. Saludos.

Entendido, no había interpretado del todo bien tu anterior respuesta. Gracias por la aclaración.

[Rectilíneo]

Esta afirmación es gratuita, el segmento DG no tiene porque cortar al segmento AB en \( \frac 23 \) de AB. y tampoco debe ser \( l_2=\frac a3
 \)

Fijate que que el trapecio isoseles DACG , si trazamos perpendiculares por los extremos de la base menor AC , de valor a, por dividir a este en dos triángulos rectángulos de ángulos 60º y 30º y la hipotenusa CG y DA valen también a.

\( \left |{\overline{AC}}\right |=\left |{\overline{CG}}\right |=\left |{\overline{DA}}\right |=a \)

Por ello \( \left |{\overline{DG}}\right |=a+2\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}a=a(1+\sqrt[ ]{3}) \)

Saludos.

Hola,

lo de los \( \displaystyle\frac{2}{3}a \) me lo he sacado completamente de la manga... llevas toda la razón

\( \left |{\overline{AC}}\right |=\left |{\overline{CG}}\right |=\left |{\overline{DA}}\right |=a \)

Sí, esto lo veo totalmente claro.

Por ello \( \left |{\overline{DG}}\right |=a+2\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}a=a(1+\sqrt[ ]{3}) \)

Esto ya no lo veo. No entiendo de donde sale \( a \) ni ese \( \displaystyle\frac{\sqrt3}{2} \)
¿Podrías explicarlo con algún paso más?


Muchas gracias tanto a ti como a delmar.

[sugata]

Lo que te ha dicho Robinlambada.
Trazando perpendiculares desde la base corta AC dividimos en dos triángulos y un cuadrado el trapecio.
Como AC=a esta será la base del cuadrado.
De ahí la primera a.
Luego tendríamos dos triángulos rectángulos con hipotenusa a.
Como conocemos los ángulos, tenemos que la base que nos falta es
\( (a)cos(30) \)
Como tenemos 2 triángulos, pues por dos.

[Rectilíneo]

Lo que te ha dicho Robinlambada.
Trazando perpendiculares desde la base corta AC dividimos en dos triángulos y un cuadrado el trapecio.
Como AC=a esta será la base del cuadrado.
De ahí la primera a.
Luego tendríamos dos triángulos rectángulos con hipotenusa a.
Como conocemos los ángulos, tenemos que la base que nos falta es
\( (a)cos(30) \)
Como tenemos 2 triángulos, pues por dos.

Vale, ahora sí que lo he entendido

\( cos(30)=\displaystyle\frac{l_1}{a}\longrightarrow{l_1=acos(30)=\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}a} \)

\( DG=a+2l_1=a+2\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}a=a(\sqrt3+1) \)

Muchas gracias sugata.