Unos 350 años atrás Fermat conjeturó para la ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) la posibilidad de tener raíces naturales SÓLO para \( n=1 \) y \( n=2 \) .
Exponemos seguidamente una demostración de la citada conjetura. Sean \( a,b,c \) tres números naturales, primos entre sí, cumpliendo \( c>b>a \) ;\( a+b>c \)
; \( n=natural \).
DEFINICIONES
Terna viable .- Es aquella que podría dar lugar a \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) . Una terna viable cumple \( a+b>c \) .
Demostración.- Si \( a+b=c \) entonces \( a^{2}+b^{2}<c^{2} \) y, en general, \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \) para \( n\geq2 \) .
Si \( a+b<c \) entonces \( a^{2}+b^{2}<c^{2} \) y, en general, \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \) para \( n\geq2 \) .
Por tanto ninguna de las ternas de los dos casos acabados de citar podría llegar a \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
FORMACIÓN de ternas viables con\( a=3 \) :
\( (3,4,5)\rightarrow3+4>5\rightarrow3^{2}+4^{2}=5^{2} \)
\( (3,5,6)\rightarrow3+5>6\rightarrow3^{2}+5^{2}<6^{2} \)
\( (3,6,7)\rightarrow3+6>7\rightarrow3^{2}+6^{2}<7^{2} \)
\( (3,7,8)\rightarrow3+7>8\rightarrow3^{2}+7^{2}<8^{2} \)
ÉTCETERA...
Comprobamos que al elevar estas ternas (en principio viables) al cuadrado nos aparece un segundo grado de viabilidad, porque tanto \( 3^{2}+4^{2}=5^{2} \) , como las demás \( a^{2}+b^{2}<c^{2} \) no pueden originar \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) por lo siguiente:
Si \( a^{2}+b^{2}=c^{2}\rightarrow a^{3}+b^{3}<c^{3} \) y, en general, \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \) para \( n\geq3 \) .
Si \( a^{2}+b^{2}<c^{2}\rightarrow a^{3}+b^{3}<c^{3} \) y, en general, \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \) para \( n\geq3 \) .
FORMACIÓN de ternas viables con\( a=4 \) :
\( (4,5,7)\rightarrow4+5>7\rightarrow4^{2}+5^{2}<7^{2} \)
\( (4,7,9)\rightarrow4+7>9\rightarrow4^{2}+7^{2}<9^{2} \)
\( (4,9,11)\rightarrow4+9>11\rightarrow4^{2}+9^{2}<11^{2} \)
\( (4,11,13)\rightarrow4+11>13\rightarrow4^{2}+11^{2}<13^{2} \)
ÉTCETERA...
Aquí ocurre lo mismo que con \( a=3 \) .
FORMACIÓN de Ternas viables con \( a=5 \) :
\( (5,6,7)\rightarrow5+6>7\rightarrow5^{2}+6^{2}>7^{2} \)
\( (5,6,9)\rightarrow5+6>9\rightarrow5^{2}+6^{2}<9^{2} \)
\( (5,7,8)\rightarrow5+7>8\rightarrow5^{2}+7^{2}>8^{2} \)
\( (5,7,10)\rightarrow5+7>10\rightarrow5^{2}+7^{2}<10^{2} \)
\( (5,8,9)\rightarrow5+8>9\rightarrow5^{2}+8^{2}>9^{2} \)
\( (5,8,11)\rightarrow5+8>11\rightarrow5^{2}+8^{2}<11^{2} \)
\( (5,9,10)\rightarrow5+9>10\rightarrow5^{2}+9^{2}>10^{2} \)
\( (5,9,12)\rightarrow5+9>12\rightarrow5^{2}+9^{2}<12^{2} \)
\( (5,10,11)\rightarrow5+10>11\rightarrow5^{2}+10^{2}>11^{2} \)
\( (5,10,13)\rightarrow5+10>13\rightarrow5^{2}+10^{2}<13^{2} \)
\( (5,11,12)\rightarrow5+11>12\rightarrow5^{2}+11^{2}>12^{2} \)
\( (5,11,14)\rightarrow5+11>14\rightarrow5^{2}+11^{2}<14^{2} \)
\( (5,12,13)\rightarrow5+12>13\rightarrow5^{2}+12^{2}=13^{2} \)
\( (5,12,15)\rightarrow5+12>15\rightarrow5^{2}+12^{2}<15^{2} \)
Vemos que aquí aparecen ternas cumpliendo el segundo grado de viabilidad \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \) . Son las siguientes:
\( (5,6,7) \) , \( (5,7,8) \) , \( (5,8,9) \) , \( (5,9,10) \) , \( (5,10,11) \) , \( (5,11,12) \) .
Tal como se ha hecho para deducir las ternas para \( a=3 \) , \( a=4 \) , \( a=5 \) , se pueden deducir las ternas viables para cada uno de los infinitos valores de \( a \). Y no hay más.
Bastará por tanto ceñir la demostración para el caso \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \) . Si la conjetura es cierta y, en general, \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) para \( n\geq3 \) . Siendo\( n \) el mayor valor que cumple esta desigualdad con signo \( > \) . Entonces \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \) siguiendo \( a^{n+1}+b^{n+1}<c^{n+1} \) , y así sucesivamente con \( (n+2) \) y etc. Si la conjetura no es cierta se llega \( a a^{n}+b^{n}=c^{n} \) y a partir de aquí\( a^{n+1}+b^{n+1}<c^{n+1} \) , y así sucesivamente con\( (n+2) \) y etc. La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) la podemos presentar así: \( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \) . (1) Estamos ante una ecuación diofántica. Y, siendo \( a^{n-1} \), \( b^{n-1} \) primos entre sí, su \( m.c.d \). es 1. Esta ecuación tiene infinitas soluciones pues \( 1\mid c^{n} \) . Por la identidad de Bèzout:\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \) . Siendo\( b>a\rightarrow x_{0}>y_{0} \) (valores absolutos) siendo uno de ellos positivo y el otro negativo para que se cumpla Bèzout.
\( x_{0}= \) negativo ;\( y_{0}= \) positivo . Valores de\( K \) positivos.
\( a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n} \)
Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtienen así:
\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1}=b\rightarrow K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
Conviene recordar (pese a su elementalidad) la exigencia de que cada valor dado a \( K \) ha de ser el mismo en las dos fórmulas anteriores; y, además, entero en el caso presente.
\( a^{n}=a^{n-1}\cdot a \) ; \( b^{n}=b^{n-1}\cdot b \) . Sustituyendo \( a , b \) por las igualdades arriba citadas se llega a
\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
Siendo el paréntesis \( =1 \) ; si la conjetura de Fermat es cierta los valores de\( K \) han de ser distintos.
Supongamos que son iguales:
\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \) . Elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por\( c^{n} \) :
\( x_{0}^{2}c^{2n}a^{2n-2}+2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+a^{2n}=y_{0}^{2}c^{2n}b^{2n-2}-2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
\( 2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+a^{2n}=y_{0}^{2}c^{2n}b^{2n-2}-x_{0}^{2}c^{2n}a^{2n-2}+b^{2n} \)
\( c^{n}(2y_{0}b^{2n-1}+2x_{0}a^{2n-1})+a^{2n}=c^{2n}(y_{0}^{2}b^{2n-2}-x_{0}^{2}a^{2n-2})+b^{2n} \)
\( 2y_{0}b^{2n-1}+2x_{0}a^{2n-1}+\frac{a^{2n}}{c^{n}}=c^{n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})(y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1})+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
\( y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1}=1 \)
\( 2y_{0}b^{2n-1}+2x_{0}a^{2n-1}+\frac{a^{2n}}{c^{n}}=c^{n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
\( (2) 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}=\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
Dividimos esta igualdad por\( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \) :
\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}=
Positivo \)
\( +\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}<\mid-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}\mid \) ; \( 1 (Positivo)<\mid\frac{c^{n}}{2a^{n}}\mid(Negativo) \)
\( +\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}>\mid-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}\mid \) ; \( 1(Positivo)>\mid\frac{c^{n}}{2b^{n}}\mid(Negativo) \)
\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}} \)=\( \displaystyle\frac{c^n -2a^n}{2a^n} \) ; diferencia a favor \( Negativo \)
\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}= \) \( \displaystyle\frac{2b^n-c^n}{2b^n} \) ; diferencia a favor\( Positivo \)
Si \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) , los numeradores de las fracciones son iguales. Entonces \( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}>\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} \)
Conclusión: El primer miembro de (2) es \( negativo\neq \) al segundo miembro positivo entero o no entero. \( \rightarrow K_{1}<K_{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
\( x_{0}= \) positivo; \( y_{0}= \) negativo. Valores de\( K \) negativos.
\( a^{n-1}x_{0}c^{n}-b^{n-1}y_{0}c^{n}=c^{n}\rightarrow \) Las infinitas raíces de la ecuación (1):
\( x=x_{0}c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K=\frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}} \)
\( y=-y_{0}c^{n}-Ka^{n-1}=b\rightarrow K=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}\cdot\frac{-y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}}=(\frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}})^{2} \)
Si estas dos fracciones son iguales su producto ha de ser igual al cuadrado de cualquiera de ellas. Operando y multiplicando en cruz:
\( (-ab-ay_{0}c^{n}+x_{0}c^{n}b+x_{0}y_{0}c^{2n})b^{n-1}=(a-x_{0}c^{n})(a-x_{0}c^{n})a^{n-1} \)
Prescindimos de momento de los factores\( b^{n-1} \) (primer miembro) y \( a^{n-1} \) (segundo miembro)
\( -a(b+y_{0}c^{n})+x_{0}c^{n}(b+y_{0}c^{n})=(a-x_{0}c^{n})(a-x_{0}c^{n}) \)
\( (b+y_{0}c^{n})(x_{0}c^{n}-a)=(a-x_{0}c^{n})(a-x_{0}c^{n}) \)
\( 0=(a-x_{0}c^{n})(a-x_{0}c^{n})+(a-x_{0}c^{n})(b+y_{0}c^{n}) \)
\( 0=(a-x_{0}c^{n})+b+y_{0}c^{n} \)
\( x_{0}c^{n}-a=b+y_{0}c^{n} \)
\( c^{n}(x_{0}-y_{0})b^{n-1}>(b+a)a^{n-1} \)
las fracciones no son iguales. \( \rightarrow K_{1}\neq K_{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
