Hola. Quiero resolver el ejercicio 4.10 de Bertsimas, una lado de la demostración.
Considerando el problema estandar de minimizar cx sujeto a \( Ax=b \)y \( x\geq 0 \), se define
Sea \( L(x,p)=cx+p(b-Ax) \)
Un punto\( (x',\color{red}p'\color{black}) \) es un equilibrio si \( L(x',p)\leq L(x',\color{red}p'\color{black})\leq L(x,p') \) para todo \( x\geq 0 \), para todo \( p \).
Quiero probar que dado \( (x',\color{red}p'\color{black}) \) equilibrio, entonces \( x' \) es solución óptima para el problema de minimizar \( cx \), y \( p' \) es solución óptima para el problema dual.
Lo que yo tengo es lo siguiente:
De \( L(x',p)\leq L(x,p') \), se tiene que \( cx'+p(b-Ax')\leq cx+p'(b-Ax) \) para todo \( x \), en particular para todo \( x \) solución de problema.
Ahora como x es solución de problema, \( b-Ax=0 \), luego \( cx'+p(b-Ax')\leq cx \) (quiero llegar a que \( cx'\leq cx \))
Acá no sé si debo considerar x' como solución de problema para así tener que \( Ax'=b \)y concluir que \( cx'+p(b-Ax')=cx'\leq cx \) para todo \( x \) y por definición esto es que \( x' \) es solución óptima.
¿Debo considerar \( Ax'=b? \)
Desde ya gracias.
CORREGIDO
