Hola
Buenos días,
estoy con un poco de combinatoria y el principio de inclusión- exclusión, con un derivado del problema: "¿Cuál es el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:
\( x_1+x_2+...+x_n=k \)
Cuya respuesta es el número combinatorio \( \displaystyle\binom{n+k-1}{k} \)
Sin embargo mi problema viene cuando en vez de las soluciones enteras no negativas me piden:
a)soluciones enteras
Soluciones enteras, si \( n>1 \), son infinitas. Tomando \( x_1=m \) para cualquier \( m \) entero \( x_2=k-m \) y \( x_3=\ldots=x_n=0 \) tienes infinitas soluciones de la ecuación.
b) soluciones enteras positivas
En ese caso haz el cambio \( y_i=x_i-1 \), de manera que la exigencia de que las \( x_i \) sean enteras positivas equivale a que las \( y_i \) sean simplemente enteras no negativas.
La ecuación equivale entonces a:
\( y_1+y_2+\ldots+y_n=k-n \)
que por lo que has apuntado al principio tiene \( \displaystyle\binom{n+(k-n)-1}{k-n}=\displaystyle\binom{k-1}{k-n} \) soluciones distintas.
Saludos.
