OJO, ESTOS CÁLCULOS SON INCORRECTOSEs que ya estaba cogiendo carrerilla para integrar, y volver sobre el tema del centro de masas de la dovela de un arco:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=75231.0Pensaba extrapolable el siguiente cálculo que cito:
"Otra manera de calcular el CM del semicírculo sería dividiendo éste en sectores circulares de abertura \( d\theta \) (...) Podemos interpretar dichos diferenciales como triángulos con base \( R\;d\theta \) y área \( dA=\frac{1}{2}R^2\;d\theta \). Como el CM de un triángulo se encuentra a un tercio de la altura sobre la base, la posición que va a caracterizar a nuestro diferencial de superficie será: \( (\frac{2}{3}R\cos\theta,\;\frac{2}{3}R\sin\theta) \)
\( \displaystyle\int{x_{sector}dA}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}{(\frac{2}{3}R\cos\theta)\frac{1}{2}R^{2}d\theta}=\Big [\frac{1}{3}R^3\sin\theta\big ]_{0}^{\pi}=0\Longrightarrow{x_{cm}=0} \)
\( \displaystyle\int{y_{sector}dA}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}{(\frac{2}{3}R\sin\theta)\frac{1}{2}R^{2}d\theta}=\Big [-\frac{1}{3}R^3\cos\theta\big ]_{0}^{\pi}=\frac{2}{3}R^3\Longrightarrow{y_{cm}=\displaystyle\frac{\displaystyle\int{y_{sector}dA}}{A}=\displaystyle\frac{\frac{2}{3}R^3}{\frac{1}{2}\pi R^2}=\displaystyle\frac{4R}{3\pi}} \)."
No he sabido cómo trasladarlo a mi caso.
Por otra parte tenía en mente otra integral: primero se integra para obtener el CM de un aro. Sigo los pasos de un libro:
Se elige el origen sobre la línea de simetría del aro (el eje \( y \)), usando \( M\vec{r}_{cm}=\displaystyle\int{\vec{r}\;dm} \), donde \( \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j} \). La distribución de masa sugiere la conveniencia de usar coordenadas polares:
\( \vec{r}_{cm}=\displaystyle\frac{1}{M}\displaystyle\int{(x\hat{i}+y\hat{j})dm}=\displaystyle\frac{1}{M}\displaystyle\int{R(\cos\theta\hat{i}+\sin\theta\hat{j})dm} \)
Ahora expresamos \( dm \) en función de \( d\theta \). Primero, el elemento de masa \( dm \) tiene longitud \( ds=R\;d\theta \), por lo tanto \( dm=\lambda\;ds=\lambda\;R\;d\theta \)
donde \( \lambda=dm/ds \). De esta forma tenemos \( \vec{r}_{cm}=\displaystyle\frac{1}{M}\displaystyle\int{R(\cos\theta\hat{i}+\sin\theta\hat{j})\lambda\;R\;d\theta} \)
Integramos
\( \vec{r}_{cm}=\displaystyle\frac{1}{M}\displaystyle\int_{\pi/3}^{2\pi/3}R(\cos\theta\hat{i}+\sen\theta\hat{j})\lambda\;R\;d\theta=\displaystyle\frac{\lambda\;R^2}{M}\left( \displaystyle\hat{i}\displaystyle\int_{\pi/3}^{2\pi/3}{\cos\theta\;d\theta}+\hat{j}\displaystyle\int_{\pi/3}^{2\pi/3}{\sin\theta\;d\theta}\right) \)
El aro es uniforme y sabemos que \( \lambda=\displaystyle\frac{M}{\frac{\pi}{3}\;r} \), donde \( \displaystyle\frac{\pi}{3}\;r \) es la longitud del arco. Sustituyendo \( \lambda \) y reordenando términos
\( \vec{r}_{cm}=\displaystyle\frac{3\;R}{2\pi}\left( \displaystyle\hat{i}\displaystyle\int_{\pi/3}^{2\pi/3}{\cos\theta\;d\theta}+\hat{j}\displaystyle\int_{\pi/3}^{2\pi/3}{\sin\theta\;d\theta}\right)=\displaystyle\frac{3R}{2\pi}\left( \displaystyle\left\hat{i}\sin\theta\right|_{\pi/3}^{2\pi/3}-\left\hat{j}\cos\theta\right|_{\pi/3}^{2\pi/3}\right)=\displaystyle\frac{3\;R}{2\;\pi}\hat{j} \)
Para toda la dovela sería:
\( dA=\pi\;r\;dr \)
\( x_{banda}=0 \)
\( y_{banda}=\displaystyle\frac{3\;R}{2\pi} \)
\( \displaystyle\int{x_{banda}dA}=0 \)
\( \displaystyle\int{y_{banda}dA}=\displaystyle\int_{R_1}^{R_2}{\left( \displaystyle\displaystyle\frac{3\;R}{2\pi}\right)\pi\;r\;dr}=\left[\frac{1}{2}\;r^3\right]_{R_1}^{R_2}=\frac{1}{2}(R_{2}^{3}-R_{1}^{3}) \)
El área se obtiene sin integrar:
\( A=\displaystyle\frac{\pi\;R_2^2}{6}-\displaystyle\frac{\pi\;R_1^2}{6}=\frac{\pi}{6}(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}) \)
Ahora viene el último cálculo:
\( y_{cm}=\displaystyle\frac{\displaystyle\int{y_{banda}\;dA}}{A}=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})}{\frac{\pi}{6}(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}=\displaystyle\frac{3(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})}{\pi(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})} \)
No puede estar correcto. Para \( R_{2}=2 \) y \( R_{1}=1 \), \( y_{cm}=7/\pi \). Vamos, fuera del extradós.
