Hola
Reactivo este tema. Repasando para el examen me he dado cuenta que me ha surgido una duda sobre el primer problema que planteé. Justo en el último mensaje de el manco, no entiendo por qué es:
\( 3^n+2^{n+1}-2^n<3^{n+1} \)
y no:
\( 3^{n+1}<3^n+2^{n+1}-2^n \)
Porque tu tienes las siguientes cosas:
\( 1) 1+2^{n+1}<3^{n+1} \)
\( 2) 1+2^{n+1}<3^n + 2^{n+1} - 2^n \)
Cuidado con eso de "
tu tienes las siguientes cosas". Has puesto dos desigualdades en ese listado como si tuviesen el mismo papel en nuestra demostración; y no es así. La primera es la que queremos probar, la segunda por el contrario sabemos que es cierta usando directamente nuestra hipótesis.
Es decir:
(1)- Queremos probar que \( 1+2^{n+1}<3^{n+1} \)-
(2)- Por hipótesis sabemos que:
\( 1+2^{n+1}=1+2^n+2^{n-1}-2^n<3^n+2^{n+1}-2^n \)
Entonces para a partir de (2) poder deducir (1) basta que sea cierta la desigualdad que marco en rojo:
\( 1+2^{n+1}=1+2^n+2^{n-1}-2^n<\color{red}3^n+2^{n+1}-2^n<3^{n+1}\color{black} \)
Por tanto sólo nos queda por probar esa desigualdad:
\( \color{red}3^n+2^{n+1}-2^n<3^{n+1}\color{black} \)
Saludos.
