[daniiy]

Hola, traigo el último ejercicio de inducción que me ha dado problemas.

Un polígono es convexo si para dos puntos cualesquiera del mismo el segmento que definen está totalmente contenido en el polígono. Demostrar que la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de \( n\geq{3} \) lados es \( (n-2)\pi \)

En la solución pone el caso base. Que es un triángulo, y que, la suma sería \( \pi \), que pone entre paréntesis axioma de Euclídes. No sé si esto significa que por definición es así, (si es así no lo había oído en mi vida), pero el caso es que, bueno, de serlo así, no habrá nada que entender. En caso contrario, no sabría de dónde viene.

Y luego no sabría continuar el ejercicio..

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, traigo el último ejercicio de inducción que me ha dado problemas.

Un polígono es convexo si para dos puntos cualesquiera del mismo el segmento que definen está totalmente contenido en el polígono. Demostrar que la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de \( n\geq{3} \) lados es \( (n-2)\pi \)

En la solución pone el caso base. Que es un triángulo, y que, la suma sería \( \pi \), que pone entre paréntesis axioma de Euclídes. No sé si esto significa que por definición es así, (si es así no lo había oído en mi vida), pero el caso es que, bueno, de serlo así, no habrá nada que entender. En caso contrario, no sabría de dónde viene.

Supongo que simplemente el caso del triángulo lo da como un resultado conocido. Se demuestra a partir de los postulados de Eculides, usando de manera decisiva el quinto.

Para la prueba por inducción nota que si en un polígono convexo de \( n \) lados, unes dos vértices no consecutivos de manera que entre los dos quede exactamente otro vértices, quedará dividido un polígono convexo de \( n-1 \) lados y un tríangulo. La suma de los ángulos interiores de ambos es la suma de los ángulos interiores del polígono inicial.

Saludos.

[daniiy]

Hola.

Entiendo lo que me has dicho, pero... No sabría cómo plantearlo numéricamente... Nos ponen ejercicios muy difíciles, apenas tenemos nivel..

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.

Entiendo lo que me has dicho, pero... No sabría cómo plantearlo numéricamente... Nos ponen ejercicios muy difíciles, apenas tenemos nivel..

¡No, hombre, éste no es nada difícil, en serio!.

Llama \( S(n) \) a la suma de los ángulos internos de un polígono convexo de \( n \) lados.

Quieres probar que \( S(n)=(n-2)\pi \).

El caso del triángulo, que damos por sabido, cumple la ecuación: \( S(3)=(3-2)\pi=\pi. \)

El siguiente argumento:

Para la prueba por inducción nota que si en un polígono convexo de \( n \) lados, unes dos vértices no consecutivos de manera que entre los dos quede exactamente otro vértices, quedará dividido un polígono convexo de \( n-1 \) lados y un tríangulo. La suma de los ángulos interiores de ambos es la suma de los ángulos interiores del polígono inicial.

numéricamente se expresa así (no olvides que las fórmulas deben de estar acompañadas del argumento anterior, que las explica, que las justifica):

\( S(n)=S(n-1)+S(3) \)

Con esto no deberías de tener problema en escribir la demostración completa.

Saludos.

[daniiy]

¿La demostración sería la siguiente?

Como la hipótesis de inducción es \( S(n) = (n-2)\pi \), sustituimos con \( S(n)=S(n-1)+S(3) \) y nos queda:

\( S(n-1) + \pi = (n-2)\pi \)
\( S(n+1) + \pi = n\pi \)
\( S(n+1) = n\pi - \pi \)
\( S(n+1) = \pi (n-1) \)

Por lo tanto, la hipótesis se cumple para n+1 y por lo tanto es correcto

[Luis Fuentes]

Hola

¿La demostración sería la siguiente?

Como la hipótesis de inducción es \( S(n) = (n-2)\pi \), sustituimos con \( S(n)=S(n-1)+S(3) \) y nos queda:

\( S(n-1) + \pi = (n-2)\pi \)
\( S(n+1) + \pi = n\pi \)
\( S(n+1) = n\pi - \pi \)
\( S(n+1) = \pi (n-1) \)

Por lo tanto, la hipótesis se cumple para n+1 y por lo tanto es correcto

Hombre, no es que esté mal la idea, pero intenta ser ordenado.

El paso inductivo deberías de redactarlo más o menos así.

- Supongamos que \( S(n)=(n-2)\pi \) para \( n\neq N \) y probémoslo para \( N+1 \) que \( S(N+1)=((N+1)-2)\pi \).

 Si en el polígono de \( N+1  \) lados unimos un vértice con otro no consecutivo, de manera que quede otro vértice en medio, lo dividimos en un polígono convexo de \( N \) lados y un triángulo de forma que:

\( S(N+1)=S(N)+S(3) \)

 Por hipótesis de inducción:

\(  S(N)=(N-2)\pi,\quad S(3)=\pi \)

 Por tanto:

\( S(N+1)=(N-2)\pi+\pi=((N+1)-2)\pi \)

Saludos.

[daniiy]

Cierto, así está todo mejor. Muchas gracias de nuevo

Saludos!