Hola michel
Comparto la imagen
En la imagen los puntos L, M, N y O son los baricentros del los triángulos generados por las diagonales del cuadrilátero. Los puntos E, I son puntos medios de los lados AB y AD respectivamente.
La idea es probar que los segmentos MN y LO son paralelos a la diagonal BD, lo mismo se puede probar con los segmentos NO y ML y la diagonal AC.
Primero consideramos el triángulo EFI, dado que la medida del segmento FO es un tercio de FE, por ser O baricentro del triángulo ABE y FE una mediana, y por similar razón la medida del segmento IL es un tercio de IE, podemos decir que OL es paralelo con FI. (Usamos uno de los teoremas de Tales que dice: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.)
Ahora consideramos el triángulo ABD, como los puntos F, I son puntos medios de los lados AB y AD, y usando el teorema de Tales antes citado podemos decir que El segmento FI y la diagonal BD son paralelas.
Dado que FI y LO son paralelas y que FI es paralela a la diagonal BD podemos afirmar que LO es paralela a la diagonal BD.
Siguiendo este procedimiento se puede probar que MN es paralela con la diagonal BD y consecuentemente paralela a LO; y que los segmetos LM y NO son paralelos con la diagonal BD y por tanto paralelos entre si.
Y por tanto el cuadrilátero formado por los segmentos que unen a los baricentros es un paralelogramo.
saludos
