[Michel]

 Construir un triángulo conociendo un lado, un ángulo adyacente y la mediana relativa a este ángulo.

[poolnikov]

Hola,

Veamos primero un triángulo trazado:


Conocemos:
-El ángulo \( \alpha \)
-El lado \( AB=c \)
-La longitud de la mediana \( AD=m \)

Resolveré el problema expresando la longitud del lado AC a la que llamaré x en función del ángulo, el lado conocido y la mediana:
\( AC=x\Rightarrow{} x=f(\alpha, m, c) \)

Sabiendo esto podemos escribir:
\( AE=x \cos \alpha \)

\( CE=x \sen \alpha \)

Por semejanza entre los triángulos ECB y FDB tenemos:
\( \displaystyle\frac{CE}{DF}=\displaystyle\frac{EB}{EF}=\displaystyle\frac{CB}{DB}=2 \) Debido a que D es el punto medio de CB (AD es una mediana conocida de longitud m)

Entonces podemos escribir
\( FD=\displaystyle\frac{EC}{2}=\displaystyle\frac{x \sen \alpha}{2} \)
\( AF=AB-FB=AB-\displaystyle\frac{EB}{2}=\displaystyle\frac{c+x \cos \alpha}{2} \)

Aplicaremos el teorema de Pitágoras en el triángulo ADF, entonces:
\( AM^2=ÂF^2+FD^2\Longrightarrow{}m^2=(\displaystyle\frac{c+x \cos \alpha}{2})^2+(\displaystyle\frac{x \sen \alpha}{2})^2 \)

Operando esta expresión, despejando la \( x \) y resolviendo una ecuación de grado 2, tendremos:

\( x=\sqrt[ ]{4m^2-c^2\sen^2\alpha}-c \cos \alpha \)

Seguramente no es la solución más rápida y fácil, pero no he visto otra.

Un saludo

[Michel]

Hola poolnikov.

No olvides que en este tipo de problemas se trata de construir una figura a partir de unos datos, y lo normal es que no haya que hacer cálculos; en este caso los datos son dos segmentos y un ángulo, cuyos valores numéricos, en general, no se conocen.

Como en muchos casos no se sabe cómo empezar, se supone el problema resuelto y se trata de reducir el problema a la construcción de una figura auxiliar, directamente construible a partir de los datos, y después pasar de ésta a la pedida.

Supongamos el problema resuelto, siendo ABC el triángulo pedido, del que conocemos el lado AB, el ángulo A y la mediatriz AM.

Prolongamos la mediana AM hasta A', tal que MA'=AM, y construimos el paralelogramo ABA'C.

Del triángulo ABA' conocemos el lado AB (dato), el lado AA' doble de la mediana dada, y el ángulo ABA', suplemento del ángulo dado A; por tanto puede construirse.

Construido este triángulo, es inmediato pasar al triángulo pedido ABC, pues M es el punto medio d AA' y C el simétrico de B respecto de M.

¿Se entiende?

Un saludo.


 

[poolnikov]

Hola poolnikov.

No olvides que en este tipo de problemas se trata de construir una figura a partir de unos datos, y lo normal es que no haya que hacer cálculos; en este caso los datos son dos segmentos y un ángulo, cuyos valores numéricos, en general, no se conocen.

Hola michel, no lo olvido, y me imaginaba que había otro camino más sencillo como el que indicas, pero yo no lo veía.
Gracias

Como en muchos casos no se sabe cómo empezar, se supone el problema resuelto y se trata de reducir el problema a la construcción de una figura auxiliar, directamente construible a partir de los datos, y después pasar de ésta a la pedida.

Supongamos el problema resuelto, siendo ABC el triángulo pedido, del que conocemos el lado AB, el ángulo A y la mediatriz AM.

Prolongamos la mediana AM hasta A', tal que MA'=AM, y construimos el paralelogramo ABA'C.

Del triángulo ABA' conocemos el lado AB (dato), el lado AA' doble de la mediana dada, y el ángulo ABA', suplemento del ángulo dado A; por tanto puede construirse.

Construido este triángulo, es inmediato pasar al triángulo pedido ABC, pues M es el punto medio d AA' y C el simétrico de B respecto de M.

¿Se entiende?

Muy claro michel. Muchas gracias.

Saludos.