Sean A y B los puntos fijos y P un punto del lugar.
Si M es el punto medio de AB y PH una altura del triángulo APB, por el teorema del coseno en los triángulos APM y BPM:
\( PA^2=AM^2+PM^2-2AM.PM.cosa \) \( PB^2=MB^2+PM^2-2MB.PM.cosb \)
Como a y b son ángulos suplementarios, sus cosenos son opuestos: cos a= -cos b
Haciendo esta sustitución en la primera expresión, restando la segunda y teniendo en cuenta que AM=MB:
\( PA^2-PB^2=4AM.PM.cosb=2AB.PM.cosb \)
Como \( PA^2-PB^2=k^2 \) (constante dada)
\( 2AB.PM.cosb=k^2 \)
En el triángulo APM: \( PM.cosb=MH \)
Por tanto \( 2AB.MH=k^2\Rightarrow{MH=\displaystyle\frac{k^2}{AB}} \)
que es constante por ser también constante el segmento AB.
Resulta que P se proyecta en el punto H de AB, tal que MH es constante; luego P está en la perpendicular a AB a la distancia MH; esta perpendicular es el lugar pedido.
