[paduana]

Hola! Tengo un ejercicio de aprovisionamiento, y tengo que minimizar el coste; que dependerá de k, el factor de seguridad, y q, la cantidad de pedido.
He llegado a plantearlo y a sacar estas ecuaciones pero mi problema es que no sé como resolverlo numéricamente o acercarme a alguna solución. alguna sugerencia?

Coste por ciclo:
\( \begin{equation*}
\begin{aligned}
 a +qc + \left( k \sigma_X + \frac{q}{2}\right)\frac{qh}{\mu_D} +1000 \left( \frac{1 e^{{\frac{-k^2}{2}}}}{\sqrt{2 \pi k}}- \frac{0.02q}{\sigma_X k}\right)
 \end{aligned}
\end{equation*}  \)

Coste por unidad de tiempo:
\( \begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{a \mu_D}{q} +c\mu_D + \left( k \sigma_X + \frac{q}{2}\right)h +1000 \frac{\mu_D}{q}\left( \frac{1 e^{{\frac{-k^2}{2}}}}{\sqrt{2 \pi k}}- \frac{0.02q}{\sigma_X k}\right)
 \end{aligned}
\end{equation*} \)

Las derivadas del coste son:

\( \begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{\partial coste} {\partial\ q}=   \frac{h}{2} - \frac{1}{q^2} \left( a \mu_D + \frac{1000 \mu_D e^{\frac{-k^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }q} \right)
 \end{aligned}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{\partial coste} {\partial\ k}= \sigma_X h + \frac{1000 \mu_D}{\sqrt{2 \pi }q}  e^{\frac{-k^2}{2}} \left( -1  - \frac{1}{k^2} \right) + \frac{20 \mu_D}{\sigma_X k^2}
 \end{aligned}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\left \{
  \begin{array}{l}  \frac{h}{2} - \frac{1}{q^2} \left( a \mu_D + \frac{1000 \mu_D e^{\frac{-k^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }q} \right)=0 \\\sigma_X h + \frac{1000 \mu_D}{\sqrt{2 \pi }q}  e^{\frac{-k^2}{2}} \left( -1  - \frac{1}{k^2} \right) + \frac{20 \mu_D}{\sigma_X k^2}=0\\\end{array}
  \right.
\end{equation*}
 \)

[Piockñec]

Para hacerlo numéricamente, necesitarás números 
Es decir, \( \sigma_X, \mu_D,h,a,c \) deberían tener algún valor (1,500, el que sea).
Si los tienes, entonces puedes hacer lo siguiente:

Supongo que tienes que minimizar dos funciones distintas, y no por separado, sino a la vez. Esto genera el problema de que, muy probablemente, ambas funciones tengan los mínimos en distintos sitios, y tendrás que decidir tú qué valor para q y para k eliges como óptimo (o rango de valores aceptable, o lo que tú quieras).
Pinta en una gráfica en 3D (eje x = q, eje y = k, eje z = coste) ambas funciones, y observa dónde están los mínimos. Si te cuesta verlo, pinta mejor (eje x = q, eje y = k, eje z = - coste), la función en negativo, y así buscas máximos con la mirada, que se ve mejor y oteas el punto idóneo, y voilà.

También puedes hacerlo usando métodos numéricos en vez de usar tu ojo, pero tendrás que ser MUY cuidadosa, muchísimo, porque k y q en 0 presentan singularidad, y porque son ecuaciones MUY NO lineales.
Si tienes experiencia en métodos numéricos, puedes generar uno que haga muestreos (a lo estadística) de puntos, busque el que tenga menor coste, y que ese sea tu punto inicial, y ya aplicas gradientes conjugados, newton-raphson, o el que te dé la gana
Yo me he hecho un método numérico que desde el punto inicial muestrea los alrededores y busca el punto con valor mínimo, y desde ahí traza un rayo (muestrea con paso pequeño) buscando en esa línea el mínimo. Cuando empieza a subir se detiene, y se posiciona en ese punto, y vuelve a hacer lo mismo, así hasta que logro encontrar el mínimo. Y todo con un poco de números aleatorios, para que no se quede nunca en ningún ciclo, y escalando, para que converja más rápido.

Pero eso te sirve para encontrar mínimos locales de las funciones, cosa que puedes hacer perfectamente (y mucho mejor) ploteando las funciones Además, creo que no buscas el mínimo local de una función específica, sino un punto intermedio... ¿Con qué criterio? Ahí tendrías que hacerte un algoritmo que logre el criterio que deseas