[Michel]

Se da un cuadrado fijo ABCD cuyas diagonales se cortan en O. Sea M un punto del lado AB. Se construye sobre el lado BC el punto M’ tal que BM’ = AM.
a) Demostrar que los triángulos AOM y BOM’ son iguales.
b) Demostrar que el triángulo MOM’ es rectángulo e isósceles.
c) Sea I el punto medio de MM’. Demostrar que IO = IB.
d) Cuando M varía de A a B, encontrar el conjunto de puntos I

[Michel]

a) Los dos triángulos son iguales por tener iguales dos lados, AO=BO y AM=BM', y el ángulo comprendido de 45º.

b) De la igualdad de estos triángulos se deduce la igualdad de los ángulos AOM y BOM’; como AO es perpendicular a BO,  ha de ser MO perpendicular a   (ángulos de lados perpendiculares); y de aquella igualdad de triángulos se deduce también que MO=M'O.

c) IO e IB son las medianas relativas a la hipotenusa en los triángulos rectángulos MOM’ y MBM’, que tienen común la hipotenusa MM’. Como IO=MM'/2 e IB=MM'/2, será IO=IB.

d) Como IO=IB, cualquiera que se el punto M, y los puntos O y B son fijos, el lugar pedido es el segmento de mediatriz de OB interior al cuadrado.