Hola
\( \sqrt[8 ]{n^2+1}-\sqrt[4 ]{n}\sqrt[ 4]{1+\displaystyle\frac{1}{n}} \) (1)
Para un epsilon dado \( \displaystyle\frac{1}{n} \) tiende a 0 por PA y la raiz cuarta de 1 (Suma de limites por propiedades es una cte luego nos queda:
\( \sqrt[8 ]{n^2+1}-\sqrt[4 ]{n} \) (2)
Esto no está bien. No puedes aplicar límites a un "trozo" de la expresión y al resto no.
Un razonamiento análogo te podría llevar a deducr que:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{} n\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}-n=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}n\sqrt{1}-n=0 \)
lo cual es falso.
Spoiler
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{} n\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}-n=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{} \sqrt{n^2+n}-n=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{} \dfrac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}= \)
\( =\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{} \dfrac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{} \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=
\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{} \dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}+1}=\dfrac{1}{2} \)
Entonces lo que te sugiero es que llames:
\( x=\sqrt[8]{n^2+1},\qquad y=\sqrt[4]{n+1} \)
y uses que:
\( x^8-y^8=(x-y)(x^7+x^6y+x^5y^2+x^4y^3+x^3y^4+x^2y^5+xy^6+y^7) \)
y por tanto:
\( x-y=\dfrac{x^8-y^8}{x^7+x^6y+x^5y^2+x^4y^3+x^3y^4+x^2y^5+xy^6+y^7} \)
Saludos.
