[Espitia]

Hola

Estoy resolviendo el siguiente ejercicio

Sea \(  f : R \rightarrow{R}  \) tal que \( f(x + y) = f(x) + f(y) \). Demuestre que si
\( f \) es continua en \( 0 \), entonces \( f \) es continua en todo \( R \).

¿Cómo demostrarlo?

\( f(x)=\sqrt{x} \) no es una de ellas, ¿cierto?\\

porque \( f(x)=\sqrt{x+y}\neq{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy resolviendo el siguiente ejercicio

Sea \(  f : R \rightarrow{R}  \) tal que \( f(x + y) = f(x) + f(y) \). Demuestre que si
\( f \) es continua en \( 0 \), entonces \( f \) es continua en todo \( R \).

¿Cómo demostrarlo?

(1) La continuidad en \( 0 \) significa que:

para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que \( |x|<\delta\quad \Rightarrow{}\quad |f(x)-f(0)|<\epsilon \)

(2) La continuidad en \( y \) significa que:

para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que \( |x-y|<\delta\quad \Rightarrow{}\quad |f(x)-f(y)|<\epsilon \)

Ahora comprueba que con las hipótesis dadas \( f(x)-f(y)=f(x-y) \) y de ahí es inmediato utilizar (1) para probar (2).

\( f(x)=\sqrt{x} \) no es una de ellas, ¿cierto?\\

porque \( f(x)=\sqrt{x+y}\neq{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \)

Cierto, no es una de ellas.

Saludos.

[Espitia]

Perdona mi ignorancia

pero no te entiendo cuando dices [tex]f(x)-f(y)=f(x-y)[\tex], y posteriormente como pruebo que (1) implica (2)

Gracias

[Espitia]

Estoy intentando pero

 \( f(x-y)=f(x)+f(-y) \)

[Juan Pablo Sancho]

Otro camino:

\(  f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0)  \) restamos \(  f(0)  \) queda \(  0 = f(0)  \).


Como es continua en el cero tenemos:

\(  \displaystyle \lim_{h \to 0 } f(h) = 0  \)

Sea \(  x_0 \in \mathbb{R}  \) tenemos:

\( \displaystyle  \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to 0} f(x_0 + h) = \lim_{x \to 0} (f(x_0) +  f(h)) = \lim_{x \to 0} f(x_0) +  \lim_{h \to 0 }f(h) = f(x_0)  +  \lim_{h \to 0 }f(h)  \) 


Tú duda:

\(  0 = f(0) = f(y  - y  ) = f(y   + (- y)  ) = f(y) + f(-y)  \)

\(  0 = f(y) {\red +}   f(-y)  \) resto \(  f(y)  \) y queda \(  - f(y) = f(-y)  \) 

\(  f(x) - f(y) = f(x)+ f(-y) = f(x-y)  \) si es continua en \(  y  \) entonces cuando \(  x \to y  \) tendremos \(  x-y \to 0  \)

Usa el hecho de la continuidad en el punto que te indincan.

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy intentando pero

 \( f(x-y)=f(x)+f(-y) \)

Como dice Juan Pablo o también por hipótesis:

\( f(x-y)+f(y)=f(x-y+y)=f(x) \)

de donde:

Usando esto (1) y (2) te queda:

(1) La continuidad en \( 0 \) significa que:

para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que \( |x|<\delta\quad \Rightarrow{}\quad |f(x)|<\epsilon \)

(2) La continuidad en \( y \) significa que:

para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que \( |x-y|<\delta\quad \Rightarrow{}\quad |f(x-y)|<\epsilon \)

de donde es claro que (1) implica (2) sustituyendo \( x \) por \( x-y \).

Saludos.