Buenos días o noches según su país
Realmente no sabía en qu
é sección colocar este tema así que si algún moderador cree por conveniente moverlo lo entenderé.
Estoy resolviendo este problema sin embargo tengo dudas acerca de los enunciados que quisiera por favor me las pudieran aclarar, muchas gracias
Enunciado:Sea \( E \) un espacio vectorial normado y \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{x_k} \) una serie en E.
a) Mostrar que si \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{x_k} \) es convergente, entonces \( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{x_k}=0 \).
Mi solución:Sea \( s_n \) la enésima suma parcial con \( n>1 \), entonces \( x_n \) es \( s_n-s_n_-_1 \). Sea \( \epsilon>0 \), como la serie converge, existe un natural \( n_0 \) tal que si \( n_0\leq{n} \), entonces \( \left |{s_n-L}\right |<\displaystyle\frac{\epsilon}{2} \), donde \( L \) es el número natural al cual converge la serie, entonces \( \left |{s_n-L}\right |<\displaystyle\frac{\epsilon}{2} \) y \( \left |{s_n_-_1-L}\right |<\displaystyle\frac{\epsilon}{2} \), siempre que \( n_0+1\leq{n} \)
Finalmente por desigualdad triangular tengo:
\( \left |{x_n}\right |=\left |{s_n-s_n_-_1}\right |\leq{\left |{s_n-L}\right | + \left |{s_n_-_1-L}\right |<\epsilon} \)
siempre que \( n_0+1\leq{n} \). Por tanto \( x_n \) converge a \( 0 \).
b) ¿Es cierto que si \( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{x_k}=0 \) entonces \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{x_k} \) es convergente? Justificar.
Mi solución:En este caso he puesto que no ya que la serie armónica \( 1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{4}+.... \) diverge, sin embargo tiene como \( \displaystyle\lim_{k \to{}\infty}{\displaystyle\frac{1}{k}}=0 \), aunque no sé si esté del todo bien tanto la parte 1 como la 2.
