[MarianKnot]

No encuentro la manera de resolver esta integral, ya lo intenté por sustitución pero se me complicó por el término lineal debajo de la raíz :

\( \displaystyle\int_{0}^{2} 2\pi\ y\sqrt{[ 1-(y-1)^2 ]} dy \)

Espero me puedan ayudar

[robinlambada]

Supongo que hay un error y no es dx sino dy

haz el cambio \( y-1=sint \) , \( dy=cost\cdot{}dt \)

[MarianKnot]

Sí, me equivoqué con la variable en el diferencial, lo corrijo en la publicación de arriba.

Robinlambada: lo intenté como me dijiste (usando y - 1 = sen t) y no me resultó porque no tengo con que reemplazar el término y que está fuera de la raíz.

Ojalá me puedan ayudar

[MarianKnot]

Me acordé de algo importante: no todas las integrales se pueden resolver! jeje... pequeño detalle. Lo que pasa es que en el libro del que estoy estudiando (Smith & Minton Tomo 1) dice que el resultado de este ejercicio es \( \pi^2 \).

Espero me puedan ayudar 

[Juan Pablo Sancho]

Haciendo el cambio de robinlambada:

\( \displaystyle \int_0^2  2 \cdot \pi y \cdot \sqrt{1 - (y-1)} dy = \int_a^b  2 \cdot \pi (sen(t) + 1) \cdot \sqrt{1 - sen^2(t)} cos(t)dt =  \)

\(  a = arcsen(-1)  \) y  \(  b = arcsen(1)  \)

\(  \displaystyle  \int_a^b  2 \cdot \pi sen(t) \cdot \sqrt{1 - sen^2(t)} cos(t)dt + \int_a^b  2 \cdot \pi \sqrt{1 - sen^2(t)} cos(t)] dt \)



\(  \displaystyle   \int_a^b  2 \cdot \pi \cdot sen(t) \cdot \sqrt{1 - sen^2(t)} cos(t)dt = \int_a^b  2 \cdot \pi \cdot sen(t) \cdot cos^2(t)dt =  \)
Por ser una función impar y simétrica respecto al eje y da 0.


\(  \displaystyle \int_a^b  2 \cdot \pi \sqrt{1 - sen^2(t)} cos(t)dt = \int_a^b  2 \cdot \pi cos^2(t)dt = \int_a^b  2 \cdot \pi cos^2(t)dt  =  \)


\(  \displaystyle = \int_a^b  2 \cdot \pi [\frac{cos(2t)+1}{2}]dt  = 2 \cdot \pi [\frac{sen(2t)}{4} + \frac{t}{2}]_a^b = 2 \cdot \pi [\frac{sen(2t)}{4} + \frac{t}{2}]_a^b =   \)

\(  \displaystyle   = 2\cdot \pi \cdot [ (sen(2b) - sen(2a))/4 + (\pi/4 + \pi/4)] = 2\cdot \pi \cdot [\frac{\pi}{2}] = \pi^2  \)

[MarianKnot]

Muchísimas gracias!! Cuando hice lo que sugirió robinlambada no hice bien la distribución de la integral en la suma, debió ser por tanto enfocarme en el mismo ejercicio jeje