Este problema si que me ha "derrotado", esas pistas que me has dado casi resuelven el problema.
Pero para información de otros anoto lo que he aprendido de ti y de este problema, (es que hay muchas cosas que desconozco):
Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa"La longitud de la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa"Comparto tu dibujo
Aplicando el teorema al triángulo rectángulo AHD podemos decir que el triángulo AHM es isósceles y por esta razón el segmento MH es paralelo al segmento AB. De igual forma podemos aplicar esto al triángulo rectángulo BFC. Ahora como los puntos M y N corresponden a los puntos medios (medianas) de los lados AD y BC respectivamente y los segmentos MH y NF son paralelos al lado AB podemos decir que la diagonal HF del rectángulo EFGH es paralela al lado AB.
Ahora para la diagonal GE podemos aplicar lo anterior en los triángulos rectángulos DEC y AGB.
Otra forma para demostrar la segunda parte es recordar que las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud y que ellas se bisecan mutuamente. Si llamamos O al punto de intersección de las diagonales del rectángulo, podemos decir que el triángulo FOG es isósceles con base FG. Además el triángulo BNF también es isósceles con base FB, por esto los ángulos \( NBF\cong NFB \). Los ángulos \( NFB\cong GFO \) por estar opuesto por el vértice. y por ser el triángulos FOG isósceles podemos decir que el ángulo \( FGO\cong GFO \). Consecuentemente \( \angle{NFB}\cong {\angle{GFO}}\cong {\angle{FGO}} \)
Y por tanto el segmento GE es paralelo al lado CB
