[TitoNathan]

Buenas, resolviendo unos problemas del tema de divisibilidad y congruencias me he encontrado con un ejercicio que tiene 2 partes y que solo se resolver a trozos.

La primera parte del ejercicio dice:

El producto de dos números es 1260 y su mcm 630. Hallar dichos números.

He sacado parejas de números descomponiendo en factores y cosas pero me gustaría que me dijeseis algún método para sacar todos los pares de números que satisfacen el problema sin dejarme ninguno.

La segunda parte me dice:

¿Cuántos divisores positivos tiene 360?. ¿Cuántos son múltiplo de 9?. ¿ Cual es la suma de los divisores de 360?.

De aquí he obtenido que 360 tiene 24 divisores positivos y que la suma de sus divisores es 1170, pero no se cómo obtener la cantidad de divisores que  son múltiplos de 9.

Muchas gracias.

[teeteto]

Para el primero:

Observa que, dados dos números a y b se tiene que ab=mcm(a,b)mcd(a,b).

Por tanto, el mcd de los dos números que buscas es 2. Es decir, los números buscados son de la forma 2x y 2y con x e y impares sin factores comunes.

2x.2y=1260, por tanto xy=315=3.3.5.7

Como x e y no tienen factores comunes, uno de ellos debe ser múltiplo de 9. Por tanto las únicas opciones son:

x=9, y=35,
x=45, y=7
x=63, y=5
x=315, y=1

Por lo que los números buscados son

18 y 70
90 y 14
126 y 10
630 y 2

Para el segundo:

Como 360=9.40 resulta que el número de divisores de 360 que son múltiplos de 9 coincide con el número de divisores de 40.

[TitoNathan]

Muchísimas gracias !!