Hola a todos:
Tengo el sigiuente polinómio: \( P=A_{0} +A_{1} u + A_{2}u^2 + A_{3} u^3 + A_{4} u^4. \) Donde:
\( A_{0}=(p+1)^2 (q-1)^2 \),
\( A_{1}= -4 - 4 p + 8 p^2 + 12 p^3 + 4 p^4 + 4 q - 8 p q - 28 p^2 q - 16 p^3 q + 8 q^2 + 24 p q^2 + 16 p^2 q^2 - 8 q^3 - 8 p q^3 \),
\( A_{2}=6 - 18 p^2 - 4 p^3 + 8 p^4 + 24 p q + 4 p^2 q - 24 p^3 q - 18 q^2 + 4 p q^2 + 38 p^2 q^2 - 4 q^3 - 24 p q^3 + 8 q^4 \),
\( A_{3}= -4 + 4 p + 8 p^2 - 8 p^3 - 4 q - 8 p q + 24 p^2 q - 8 p^3 q + 8 q^2 - 28 p q^2 + 16 p^2 q^2 + 12 q^3 - 16 p q^3 + 4 q^4 \),
\( A_{4}=(p-1)^2 (q+1)^2 \).
Usando Wolprham Mathematica se que los coeficientes de \( u,u^2 \) y \( u^3 \) son positivos en varias zonas, entre estas, la siguiente: \( q\leq \frac{1}{2} \left(-\sqrt{17}-5\right)\land p>-1 \). ¿Alguien tiene una idea de como probar que en efecto en esta zona esos coeficientes son positivos?
pdta: Estoy intentando probar que estos coeficientes son positivos ya que los otros coeficientes de \( u^0 \) y \( u^4 \) son positivos con lo cual podría decir que este polinómio no tiene raices positivas usando la regla de cambio de signo de Descartes.
De antemano muchas gracias por cualquier sugerencia.
