[Francolino]

Hola, quería que me ayudaran a calcular el siguiente límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac {e^x-1}{e^{x+4}-1}} \)

Quiero saber qué tengo que aplicar, si órdenes, equivalentes, ...

Desde ya, espero su respuesta, un saludo.

[Gustavo]

Hola. Intenta multiplicando por \( \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}}. \)

[Francolino]

Hola Gustavo, gracias por responder.

Llego a lo siguiente:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac {1-e^{-x}}{e^4-e^{-x}}} \)

Querría saber de dónde has sacado tal expresión, ¿se te ocurrió? ¿sale de alguna propiedad que ignoro?

¿Cómo continúo? ¿qué debo aplicar?

[Gustavo]

Ahí concluyes que el límite es \( e^{-4} \) porque \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0. \)

Es algo parecido a calcular el límite dividiendo numerador y denominador por la potencia más alta. Por ejemplo para calcular

\( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^2+5x+1}{3x^2+8} \) puedes multiplicar y dividir entre \( x^2 \) y obtener

\( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{3+\dfrac{8}{x^2}}=\dfrac23. \)

[Francolino]

Nuevamente te agradezco por tu respuesta.

Además te quiero preguntar: ¿por qué no aplicaste equivalentes? Según tengo entendido \( e^{x}-1 \approx x \), y lo mismo también se puede hacer con el denominador.

Un saludo.

[Gustavo]

A mí nunca me enseñaron (ni leí) eso.

[Francolino]

Bueno, entonces no importa. Te vuelvo a agradecer por tu ayuda. Saludos.