[bifouma]

Hola, a ver si pueden ayudarme con éste problema, dice:

Dados dos reales \( a \) y \( b \), definimos su media de segundo orden como \( M_2(a,b)=(\frac{a^2+b^2}{2})^{1/2} \). Diremos que una cierta función positiva \( f \), definida en \( \mathbb{R} \), es derivable en \( x \) por sus medias de segundo orden si existe \( f^{\prime}_2 (x)=\displaystyle\lim_{t \to{}x}{\frac{M_2(f(t),f(x))-f(x)}{M_2(t,x)-x}} \).

Probar que una función \( f \) es derivable por sus medias de segundo orden si y sólo si \( f \) es derivable en el sentido habitual.

Indicación: En algún momento puede resultar útil usar (dando una demostración) la igualdad \( f(t)-f(x)=2(M_2(f(t),f(x))-f(x))\frac{M_2(f(t),f(x))+f(x))}{f(t)+f(x)} \)

Gracias

[Héctor Manuel]

Toma en cuenta que \( \dfrac{f(t)-f(x)}{t-x}=2\times \dfrac{M_2(f(t),f(x))-f(x)}{M_2(t,x)-x}\times\dfrac{M_2(t,x)-x}{t-x}\times\dfrac{M_2(f(t),f(x))+f(x)}{f(t)+f(x)} \).

Intenta terminar.

Saludos.

[bifouma]

Vale, veo de donde sacas esa igualdad, pero cómo continúo a partir de ahí?

Un saludo y muchas gracias

[Héctor Manuel]

Primero, calcula \( \displaystyle\lim_{t\to x}\dfrac{M_2(t,x)-x}{t-x} \) (no es tan difícil como parece).
 
Luego, usando la igualdad que te di en mi mensaje anterior, verás que si tomas límite a ambos lados de la desigualdad, entonces un límite existe si y sólo si el otro también. Pero estos existen justamente si y sólo si existen las derivadas.

Saludos.

[bifouma]

Vale, creo que ya lo tengo:

He hecho el límite por L'Hopital y me queda 1/2.

Luego tomando límites ese mismo límite que aparece en la parte derecha se va con el 2. Al final me queda que \( \displaystyle\lim_{t \to{x}}{\dfrac{f(t)-f(x)}{t-x}} = \displaystyle\lim_{t \to{x}}{\dfrac{M_2(f(t),f(x))-f(x)}{M_2(t,x)-x}} \) y entonces como los límites son iguales ya tenemos que la derivada por la media de segundo orden existe si y solo si existe la derivada en el sentido habitual.

¿Es correcto? Mil gracias