[jose91]

Buenas, a ver si me podéis ayudar con un problema que me ha surgido. Necesito resolver la siguiente ecuación matricial, donde A y B son matrices conocidas, y X la matriz que necesito calcular.

\(  AX+XA=B  \)

He probado numéricamente con un método de punto fijo, pero para la matriz A que empleo parece que no converge a la solución. Saludos y gracias.

[mathtruco]

Hola jose91,

 no veo una forma elegante de hacerlo, pero te doy una idea.

Para \( n=2 \):

\( A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \), \( B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix} \), \( X=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{bmatrix} \).

Las \( AX+XA=B \) escrito componente a componente queda:

    \( a_{11}x_{11}+a_{12}x_{21}+x_{11}a_{11}+x_{12}a_{21}=b_{11} \)

    \( a_{11}x_{12}+a_{12}x_{22}+x_{11}a_{12}+x_{12}a_{22}=b_{12} \)

Las dos otras ecuaciones son fáciles de calcular también.

Con las 4 ecuaciones podemos reescribir el problema como un sistema lineal típico:

\(
\begin{bmatrix}2a_{11}&a_{21}&a_{12}&0\\
*&*&*&*\\
a_{12}&0&a_{11}+a_{22}&a_{12}\\
*&*&*&*\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_{11}\\ x_{21}\\ x_{12}\\ x_{22}\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}b_{11}\\ b_{21}\\ b_{12}\\ b_{22}\end{bmatrix}
 \)


Quizás hay un error en los subíndices, pero seguro se entiende la idea. Habría que ver como queda y generalizar esta idea al problema de \( n \) dimensiones.

[jose91]

Precisamente eso es lo que busco, una forma elegante de hacerlo. La ecuación me aparece agrupando términos tras aplicar diferencias finitas a la ecuación de Poisson en un dominio rectangular,

\( \nabla^2u(x, y)=g(x, y) \)
\( u_{ij+1} + u_{ij-1} + u_{i+1j} + u_{i-1j} -4u_{ij}=h^2g_{ij} \)

Resolverla no es complicado, pero quería hacerlo sin perder de vista la geometría del problema, lo que pasa por resolver la ecuación matricial \( AU+UA=C \).

Gracias por la ayuda.

[mathtruco]

A lo que me refería con que mi solución no era elegante, es que hay que tomarse unos 15 minutos para llegar a una solución elegante.

Resuelve para \( n=2 \), \( n=3 \) y \( n=4 \) y trata de generalizarlo para cualquier \( n \). Con eso tendrás una solución elegante y seguramente fácilmente programable.