Hola:
En el capítulo 1 del libro Topología algebraica de Kosniowski se define el concepto de espacio métrico usando los axiomas de la función distancia A(1), la diagonal nula A(4) y la distancia nula A(5) unidos, y otro axioma que me parece que se deduce del A(6 inverso) o desigualdad triángular inversa, y que dice A(?)\( \forall\, a,b,c\in X,\,
d(b,c)\leq d(a,b)+d(a,c) \)
Aunque seguramente será alguno de los que has mencionado, ¿podrías aclararlo un poco?
Enhorabuena por el artículo.
Saludos 🖐🏻
Hola
ani_pascual.
Lo cierto es que diferentes autores dan
versiones distintas de la noción de
Espacio Métrico.
Las
preliminares de la definición de Kosniowski corresponden
a lo que yo llamé
axiomas (A0) y (A1) en mi lista.
En
(A0) yo digo que \(X\) es un conjunto no vacío.
A lo mejor no está bien afirmar que la frase "\(X\) es un conjunto" valga como Axioma (pues eso no es expresable en la teoría formal de conjuntos),
pero sí el hecho de que "\(X\) es no vacío".
Kosniowski no aclara que su conjunto \(A\) es no vacío.
En ese caso uno tendría que \(A\times A=\emptyset\) y que la función distancia \(d:A\times A\to \mathbb R\) tiene que ser, sin más remedio, la función vacía
(que de nuevo es el conjunto vacío, ya que una función es un conjunto de par ordenados subconjunto de \(A\times A\times \mathbb R=\emptyset\)).
Todas esas sutilezas y discusiones sobre el conjunto vacío pueden considerarse irrelevantes o caprichosas,
pero para mí no es tan trivial, porque a alguien se le puede ocurrir
la necesidad de elaborar un concepto que abarque a familias de subespacios de un espacio métrico,
y puede ser necesario aceptar que el conjunto vacío forme parte de la familia.
Por otra parte, los libros de este tipo de temáticas suelen evitar toda mención al caso del conjunto vacío, y uno puede asumir que el conjunto que uno toma como espacio de trabajo es
no vacío.
Asumiendo ese axioma "nunca mencionado" por Kosniowski, pero que uno puede presumir como obviamente aceptado sin necesidad de mencionarlo,
se podría decir que
(A0) forma parte de la definición dada por Kosniowski.
Para más detalles, ver discusión en la
Sección 2.1.
En particular, allí se concluye que el conjunto vacío es un
espacio métrico.
(Es muy irregular, por no decir anticientífico, asumir que un autor asume algo que no escribió, pero bue...).
La
propiedad (i) de Kosniowski comprende los
Axiomas (A4) y (A5) de mi exposición.
Lo que sucede es que yo prefiero separar el "si y sólo si" en dos implicaciones bien apartadas.
Un motivo para esto es que si en mi lista de Axiomas
los dejaras a todos pero quitaras sólo el
(A5),
lo que se obtiene es una
pseudométrica,
que es una noción topológica que tiene importancia por sí misma.
Podrás hallar la discusión al respecto en la
sección 3.5,
acerca de cómo distinguir puntos.
En cuanto a la
propiedad (ii) de Kosniowski,
no corresponde a mi
Axioma (A6),
sino que
se correspondería más bien
con el Axioma
(A6 bis) que pongo más abajo.
Sin embargo, tampoco coincide.
Lo de Kosniowski, siguiendo mi estilo,
sería un Axioma
(A6 bis bis),
es decir, una alternativa a lo que llamé
(A6 bis).
(De hecho, considero que no sería apropiado llamarla
(A6 tris)).
Concretamente:
(A6 bis bis) Desigualdad triangular bis bis: \[\forall x,y,{\color{blue}p}\in X\,:\, d(x,y) \leq d({\color{blue}p},x) + d({\color{blue}p},y).\]
La diferencia entre
A6,
A6 bis y
A6 bis bis es que están conmutadas las variables en orden distinto:
- (A6): ____________ \( d(x,y) \leq d({\color{red}x},{\color{blue}p}) + d({\color{blue}p},{\color{red}y}).\)
- (A6 bis): _________ \( d(x,y) \leq d({\color{red}x},{\color{blue}p}) + d({\color{red}y},{\color{blue}p}).\)
- (A6 bis bis): ______ \( d(x,y) \leq d({\color{blue}p},{\color{red}x}) + d({\color{blue}p},{\color{red}y}).\)
Fijate bien los colores azules y rojos cómo han cambiado en las 3 versiones de la desigualdad triangular.
En la práctica habrás visto que semejante detalle nunca importa,
porque
la función distancia es simétrica.
Pero el problema es que acá estamos discutiendo los Axiomas mismos.
En ese caso, no sabemos aún si la función distancia es simétrica o no.
En mi lista de Axiomas la simetría aparece como
Axioma A3.
Pero en Kosniowski ese axioma no figura, sino que lo demuestra como un ejercicio,
lo cual está muy bien.
Ahora bien.
¿Por qué digo que es un
Axioma A6 bis bis?
Lo que pasa es que en mi
Teorema 1.4.1 se demuestra que
A6 y
A6 bis son equivalentes.
Sin embargo, se usa la
simetría (A3) para probar esa equivalencia.
Una demostración análoga puede darse, obviamente,
para probar que
A6 y
A6 bis bis son equivalentes.
Dado que la manera de probar esa equivalencia es completamente análoga,
el
Axioma (ii) de Kosniowski se parece más,
o es análogo a lo que yo llamé
A6 bis.
En general vas a obtener que todo lo que yo haya dicho respecto el Axioma A6 bis,
será también válido para el (ii) de Kosniowski (o sea, el A6 bis bis).Kosniowski no menciona ni los
Axiomas A2 (no negatividad) ni el
A3 (simetría).
Sin embargo, los establece como verdaderos,
poniendo enseguida un ejercicio que pide probar ambos hechos.
Si te fijás en mi hilo original,
se puede ver que la formulación de Kosniowski resulta más satisfactoria,
porque, por ejemplo,
se puede probar la no negatividad (ver
Teorema 2.2.1)
usando solamente
A6 bis y
A4,
sin tener que apelar en ninguna parte al axioma
A3 de simetría.Por otra parte, también de
A6 bis y A4 se puede probar el
Axioma A3 de simetría,
como podrás ver en mi
Teorema 2.4.1.
Y como ya he mencionado, lo que yo hice para
A6 bis es traducible casi directamente a la formulación del
axioma (ii) de Kosniowski.
