[lmnop]

Tengo el siguiente problema el cuál no se ni como empezarlo ni ni si quiera a que rama pertenece para poder buscar información y ejercicios resueltos por Google.

Dada la ecuación \( \dfrac{{\partial^2 u}}{{\partial t^2}} = a^2\dfrac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} \)  (a != 0), calcular su ecuación transformada mediante el cambio de variables:
\( r = x - at  \)
\( s = x + at  \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Tienes que hallar las segundas parciales de \( u \) respecto de las variables \( t,x \) en función de las parciales respecto de \( r,s \).

 Tienes:

\(  \dfrac{{\partial u}}{{\partial x}}= \dfrac{{\partial u}}{{\partial r}} \dfrac{{\partial r}}{{\partial x}}+ \dfrac{{\partial u}}{{\partial s}} \dfrac{{\partial s}}{{\partial x}}=\dfrac{{\partial u}}{{\partial r}}+\dfrac{{\partial u}}{{\partial s}}  \)

 Ahora:

\(  \dfrac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{{\partial u}}{{\partial r}}\right)+\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{{\partial u}}{{\partial s}}\right)  \)

 donde:

\( \dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{{\partial u}}{{\partial r}}\right)=\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial r^2}}\dfrac{{\partial r}}{\partial x}}+\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial r \partial s}}\dfrac{{\partial s}}{\partial x}}=\ldots  \)  

 Continúa...

Saludos.
  

[lmnop]

Pero como derivo U si no tengo ninguna función U? Por ejemplo el primer caso:

\(  \dfrac{{\partial u}}{{\partial x}}= \dfrac{{\partial u}}{{\partial r}} \dfrac{{\partial r}}{{\partial x}}+ \dfrac{{\partial u}}{{\partial s}} \dfrac{{\partial s}}{{\partial x}}=\dfrac{{\partial u}}{{\partial r}}+\dfrac{{\partial u}}{{\partial s}}  \)

Como hago esa suma si no tenga nada de lo que derivar?

[Luis Fuentes]

Hola

 Si tienes la ecuación en derivadas parciales de partida:

\( \dfrac{{\partial^2 u}}{{\partial t^2}} = a^2\dfrac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} \)

 se supone que \( u \) es una función de dos variables.

 Lo que pretendes con es cambio de variable es obtener una nueva ecuación donde ahora en lugar de las parciales de \( u \) respecto de \( x \) y \( t \) intervengan las parciales de \( u \) respecto de las nuevas variables \( r,s \).

 Para ello lo único que necesitas es la relación entre \( r,s \) y \( x,t \) que es justo el dato del enunciado.

Saludos.

[lmnop]

Me podrías decir si el resultado final te da 0 = 0?

Es que a mi me da eso siguiendo http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_cadena e incluso he encontrado una presentación (https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CEoQFjAD&url=http%3A%2F%2Fwww.sectormatematica.cl%2Fppt%2FRegla%2520de%2520la%2520cadena.ppt&ei=G9fuUMbWLcy3hAevooGIBQ&usg=AFQjCNFOS0QACtVtQS-NMbGhaOJrAXyKyQ&bvm=bv.1357700187,d.ZG4&cad=rja) en la que está el mismo ejercicio y da 0 = 0 también.

Sin embargo un amigo que estuvo yendo a clases particulares, su profesor de clases particulares le dejó como resultado:

\( \dfrac{{\partial^2 u}}{{\partial r}{\partial s}} = 0 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 No da \( 0=0 \). Si diese eso querría decir que tu ecuación de partida se cumple para cualquier función \( u \), lo cuál es obviamente falso.

 Si sigues haciendo las cuentas que te indiqué tendrás:

\( \dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{{\partial u}}{{\partial r}}\right)=\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial r^2}}\dfrac{{\partial r}}{\partial x}}+\dfrac
{{\partial^2 u}}{\partial r \partial s}}\dfrac{{\partial s}}{\partial x}}= \dfrac{{\partial^2 u}}{\partial r^2}}+\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial r \partial s}} \)

\( \dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{{\partial u}}{{\partial s}}\right)=\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial r \partial s}}\dfrac{{\partial r}}{\partial x}}+\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial s^2}}\dfrac{{\partial s}}{\partial x}}= \dfrac{{\partial^2 u}}{\partial s\partial r}}+\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial s^2}} \)

 Por tanto:

 \(  \dfrac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{{\partial u}}{{\partial r}}\right)+\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{{\partial u}}{{\partial s}}\right)=\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial r^2}}+2\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial s\partial r}}+\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial s^2}}  \)

 Calculamos ahora:

\(  \dfrac{{\partial u}}{{\partial t}}= \dfrac{{\partial u}}{{\partial r}} \dfrac{{\partial r}}{{\partial t}}+ \dfrac{{\partial u}}{{\partial s}} \dfrac{{\partial s}}{{\partial t}}=-a\dfrac{{\partial u}}{{\partial r}}+a\dfrac{{\partial u}}{{\partial s}}  \)

\(  \dfrac{{\partial^2 u}}{{\partial t^2}}=-a\dfrac{\partial}{\partial t}\left( \dfrac{{\partial u}}{{\partial r}}\right)+a\dfrac{\partial}{\partial t}\left( \dfrac{{\partial u}}{{\partial s}}\right)=\ldots=a^2\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial r^2}}-2a^2\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial s\partial r}}+a^2\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial s^2}}   \)

 Ahora susituye en la ecuación de partida, simplifica y te quedará:

\( \dfrac{{\partial^2 u}}{{\partial r}{\partial s}} = 0 \)

Saludos.

[lmnop]

Ok, entonces si que está bien el ejercicio que me dejó mi compañero.

El ejercicio lo voy siguiendo hasta que llego a

\( \dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{{\partial u}}{{\partial r}}\right)=\dfrac{{\partial^2 u}}{\partial r^2}}\dfrac{{\partial r}}{\partial x}}+[b]\dfrac
{{\partial^2 u}}{\partial r \partial s}}\dfrac{{\partial s}}{\partial x}}[/b] \)

Mmm bueno la negrita no se ve con LaTeX, lo que está entre [ b ] y [ /b ] es lo que no se de donde sale.

No hay ninguna fórmula prefijada para cuando la función depende de más de una variable? He probado usando las fórmulas de Faà Di Bruno, pero para el caso de la segunda derivada no me da el mismo resultado.

[Luis Fuentes]

Hola

 No estyo usando ninguna fórmula particular para este caso. Estoy usando la regla de la cadena para varias variables y es lo único que necesitas:

 Si llamas \( f(r(x,t),s(x,t))=\dfrac{\partial u}{\partial r} \), lo que utilizo es:

\(  \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial s}\dfrac{\partial s}{\partial x} \)

Saludos.

[lmnop]

Si si, a ver me expliqué mal.

La primera derivada si la entiendo.

Lo que no entiendo es en la segunda derivada cuando sale de denominador \( \partial r \partial s \)

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que no entiendo es en la segunda derivada cuando sale de denominador \( \partial r \partial s \)

Es que la fórmula que te he puesto es para hallar la segunda derivada. La idea es que para hallar las segundas derivadas aplicas exactamente lo mismo que para las primeras, pero actuando sobre las primeras derivadas parciales.

Tenemos que:

\(  \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial s}\dfrac{\partial s}{\partial x} \)      (1)

si \( f=\dfrac{\partial u}{\partial r} \) entonces:

\( \dfrac{\partial f}{\partial r}=\dfrac{\partial }{\partial r}\left(\dfrac{\partial u}{\partial r}\right)=\dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2} \)
\( \dfrac{\partial f}{\partial s}=\dfrac{\partial }{\partial s}\left(\dfrac{\partial u}{\partial r}\right)=\dfrac{\partial^2 u}{\partial r \partial s} \)

Sustituyendo en (1):

\( \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial u}{\partial r} \right)=\dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2}\dfrac{\partial r}{\partial x}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial r \partial s}\dfrac{\partial s}{\partial x} \)

Saludos.