[Jano]

Sean \( a_1, a_2, ... a_n \) números reales estrictamente positivos demostrar que:
\( n^2 \leq{(a_1 + a_2 + ... + a_n)*(\displaystyle\frac{1}{a_1}} + \displaystyle\frac{1}{a_2} + ... + \displaystyle\frac{1}{a_n}) \)

[numbsoul]

Intenta probarlo por inducción.

[Jano]

Ya lo he probado pero me quedo atascado a mitad.

[Gustavo]

Muestra exactamente donde te quedas.

En el paso inductivo te va a servir el hecho de que la suma de un número positivo y su recíproco siempre es mayor o igual a 2 (que se deduce de la desigualdad entre la media geométrica y aritmética).

Nota aparte: Se puede demostrar aplicando la desigualdad de Jensen a la función \( \dfrac{1}{x}. \)

[Megus]

Es mucho más fácil si aplicas la desigualdad de Cauchy-Schwarz.