[sachica]

Como puedo demostrar que

\( \displaystyle\frac{1}{1^3}+\displaystyle\frac{1}{3^3}-\displaystyle\frac{1}{5^3}-\displaystyle\frac{1}{7^3}+\displaystyle\frac{1}{9^3}+\displaystyle\frac{1}{11^3}.......=\displaystyle\frac{3 \pi^2 \sqrt[ ]{2}}{16} \)

[numbsoul]

Sabemos que la serie converge absolutamente,con lo cual cualquier reordenamiento da lugar a la misma suma.

Luego,basta calcular \( (\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{(4n+1)^{3}})+(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{(4n+3)^{3}}) \).A estas sumas las puedes calcular usando el teorema de los residuos del Análisis Complejo.

[Abdulai]

Como puedo demostrar que

\( \displaystyle\frac{1}{1^3}+\displaystyle\frac{1}{3^3}-\displaystyle\frac{1}{5^3}-\displaystyle\frac{1}{7^3}+\displaystyle\frac{1}{9^3}+\displaystyle\frac{1}{11^3}.......=\displaystyle\frac{3 \pi^2 \sqrt[ ]{2}}{16} \)

Hay un error, el resultado de esa suma es \( \sqrt{2}\dfrac{3}{128}\pi^3 \)   (Se puede verificar numéricamente)



El procedimiento que usé fue por series de Fourier, partiendo de \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty{\dfrac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}}=1 \)  si  \( 0<x<\pi \)  e integrando dos veces.