[Bourbaki]

Hola, quería saber si dado un conjunto de índices arbitrario \( \Gamma \) se cumple que
\( $$\displaystyle \sum_{\gamma\in\Gamma} \int_X f_{\gamma} d\mu = \int_X \displaystyle\sum_{\gamma\in\Gamma} f_{\gamma} d\mu$$ \)
En caso que el conjunto \( $\Gamma$  \)es numerable es obvio, però si no es numerable no sé como probarlo. ¿Podriaís darme una prueba?

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 En primer lugar no es obvio que para \( \Gamma \) numerable sea cierta la propiedad que citas.

 - Si es obvia para conjuntos finitos, simplemente por la linealidad de la integral (la integral de la suma de dos funciones es la suma de la integral de cada uno de ellos).

 - Para un conjunto numerable (recordemos que numerable significa la misma cardinalidad de los naturales), es decir, para una serie de funciones el resultado no es siempre cierto. Hay una serie de teoremas de convergencia que dan ciertas condiciones para que se cumpla el resultado. Puedes consultar algunos por aquí:

http://portalevlm.usal.es/INDEX_FILES/BASES/ARCHIVOS/TEMA3/17_SUCE_Y_SERIES_FUNCIONES.PDF

http://cafematematico.com/2011/01/19/teoremas-de-convergencia/

 - Si el conjunto de índices es infinito no numerable, entonces no está claro que significa una suma bajo unos índices no numerables. Hay que definir un concepto de límite basado en índices no necesariamente numerables. Se necesita que el conjunto de índices este "ordenado" de una determinada manera; en particular que sea un conjunto dirigido. Pero la situación no es nada obvia. Puedes leer sobre ello por aquí:

http://cafematematico.com/2011/01/19/teoremas-de-convergencia/

 Pero realmente no conozco situaciones en las que se manejen en el sentido que tu lo haces, familias no numerables de funciones.

Saludos.