[Jorge]

Sea \( \[f \in L^1 (X,\tau ,\mu )\] \) tal que existe una constante \( C\geq{0} \) que satisface \( \[
\left| {\frac{1}
{{\mu (E)}}\int_E {fd\mu } } \right| \leqslant C
\] \)
para todo\(  \[E \in \tau \] \) tal que \( \[0 < \mu (E) < \infty \] \). Probar que \( |f|\leq{C} \) \( \[
\mu  - ctp
\]
 \)

Bueno para hacerlo definí el conjunto \( \[
A = \bigcup\limits_{n \geqslant 1} {A_n }
\] \), en donde \( \[
A_n  = \{ x \in X:\left| {f(x)} \right| - C > \frac{1}
{n}\}
\] \)

y estaba tratando de probar que ese conjunto tenia medida cero, pero no logré hacerlo. Saludos.

[numbsoul]

La desigualdad del enunciado es equivalente a \( |\displaystyle\int_{E}f\;d\mu|\leq C\mu(E) \) para todo \( E\in \tau \).

Observa también que \( \mu(A_{n})<\infty \) para todo \( n\in\mathbb{N} \).
Tenemos que \( |\displaystyle\int_{A_{n}}f\;d\mu|\leq C\mu(A_{n}) \).

En el caso \( f\geq 0 \),estamos hechos (pues sacamos el módulo y usamos que \( f\geq C+\dfrac{1}{n} \) sobre \( A_{n} \))
El caso general no me sale 

[numbsoul]

Sea \( P=\{x\in X:f(x)\geq 0\} \) y \( N=\{x\in X:f(x)<0\} \).

Tenemos que \( A=(A\cap P)\cup (A\cap N)=(\bigcup_{n}A_{n}\cap P)\cup (\bigcup_{n}A_{n}\cap N) \).

Por lo tanto,basta probar que \( \mu(A_{n}\cap P)=\mu(A_{n}\cap N)=0\;\forall n\in\mathbb{N} \).

Tenemos que \( (C+\dfrac{1}{n})\mu(A_{n}\cap P)\leq \displaystyle\int_{A_{n}\cap P}f\;d\mu\leq C\mu(A_{n}\cap P) \),de donde \( \mu(A_{n}\cap P)=0 \).

Análogamente,\( \mu(A_{n}\cap N)=0 \).

[Jorge]

Una duda, la función \( f \) en el conjunto \( A_{n}\cap{N} \) es negativa, luego para ver que la medida de dicho conjunto es 0 no se podrían establecer las mismas desigualdades que en el caso anterior, como sería entonces? Gracias.

[numbsoul]

En ese conjunto,la función es negativa y por lo tanto el módulo de la integral es la integral de \( -f \),que es positiva sobre ese conjunto.Concretamente,\( -f=|f|>C+1/n \),sobre \( A_{n}\cap N \).

[Jorge]

Ok, gracias por la ayuda c: