Hola, busco alguna crítica constructiva con el siguiente ejercicio:
Probar que si E es medible entonces cada transladado E+y de E también es medible.
He intentado hacer esto, y creo que es correcto.
Sea E un conjunto medible, \( y \in \mathbb{R} \) cualquiera pero fijo. Tomemos \( A\subset \mathbb{R} \) arbitrario. Entonces existe un conjunto \( A'\subset \mathbb{R} \) tal que \( A=A'+y \). Puesto que la medida exterior \( \mu^* \) es invariante por traslaciones, entonces \( \mu^*A=\mu^*(A'+y)=\mu^*A' \). Por otro lado
\( \mu^*(A\cap (E+y))=\mu^*((A'+y)\cap (E+y))=\mu^*((A'\cap E)+y)=\mu^*(A'\cap E) \)
Ahora vemos que el complementario del transladado de E es \( (E+y)^c=E^c+y \). En efecto
\( x\in (E+y)^c \Leftrightarrow x \notin E+y \Leftrightarrow x-y \notin E \Leftrightarrow x-y \in E^c \Leftrightarrow x \in E^c+y \)
Entonces tenemos que
\( \begin{eqnarray*}
\lefteqn{\mu^*(A\cap (E+y)^c)=\mu^*(A\cap (E^c+y))=}\\
&&\mu^*((A'+y)\cap (E^c+y))=\mu^*((A'\cap E^c)+ y)=\mu^*(A'\cap E^c)
\end{eqnarray*} \)
Y podemos concluir
\( \mu^*(A \cap (E+y))+\mu^*(A\cap (E+y)^c)=\mu^*(A'\cap E)+\mu^*(A'\cap E^c)=\mu^*A'=\mu^*A \)
Aplicando la hipótesis de que E es medible en la penúltima igualdad.
¿Correcto?
Saludos,
