Hola.
- Lema. Si \( (A,+,\cdot{}) \) es un anillo e \( I \) un ideal de \( A \) tal que \( 1 \in{I} \), entonces \( I=A \). Si \( I \) contiene un elemento invertible de \( A \), entonces \( I=A \)
La demostración es sencilla, lo que no veo es lo de "si \( I \) contiene un elemento invertible de \( A \), entonces \( I=A \)". Para demostrarlo sólo usa la primera parte.
- Corolario. Si \( (A,+,\cdot{}) \) es cuerpo, entonces los únicos ideales de \( A \) son \( \{0\} \) y \( A \).
La demostración es: Como \( U(A)=A^* \), para todo ideal no nulo \( I \) tenemos que \( I\cap{U(A)}\neq{\emptyset} \)
Pero no acabo de entender cómo lo demuestra. Según el lema, al ser un cuerpo todos sus elementos son invertibles, luego \( I=A \). Entonces directamente de ahí sé que un ideal es él mismo. \( \{0\} \) es ideal de cualquier anillo. Pero no veo en la demostración cómo se sabe que no hay más ideales.
Saludos y muchas gracias
