[Gaussa]

Hola.

Tengo que probar que el cuadrado de cualquier múltiplo impar es un múltiplo de 4 más 1.

Para ello, creo que lo más cómodo sería probarlo es \( \mathbb{Z}_4 \). Los restos posibles son 0,1,2 y 3. Como se trata de un número impar y los estoy dividiendo por uno par, 0 y 2 están descartados.

Para terminar de probarlo debería ver que el resto tampoco puede ser 3. Me pongo ejemplos y todos dan uno (claro, es lo que tengo que demostrar). Pero por más que pienso no sé por qué no puede dar 3. ¿Alguna idea?

Saludos y muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Simplemente si quieres trabajar módulo \( 4 \) y los restos posibles son \( 1 \) y \( 3 \). Pues:

\(  1^2\quad mod\quad 4=1\quad mod\quad 4 \)

\(  3^2\quad mod\quad 4=9\quad mod\quad 4=1\quad mod\quad 4 \)

 Y listo.

Saludos.

[Gaussa]

Hola. Muchas gracias.

Pero, ¿cómo sé que eso va a ocurrir con el resto de números impares? Así se prueba para el 1 y el 3, pero, ¿cómo garantizar que, por ejemplo, al 5 o al 7 les pasa lo mismo?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si trabajas módulo \( 4 \) sólo hay tres números: \( 0,1,2,3 \). No hay más casos que comprobar. Esa es la "gracia" de la artimética modular.

 Cualquier otro número sera conguente módulo \( 4 \) con uno de esos cuatro.

 Lo que estamos diciendo es que cualquier número impar se puede escribir como \( 4k+1 \) ó \( 4k+3 \) y:

\(  (4k+1)^2=16k^2+8k+1=4(4k^2+2k)+1 \)

\( (4k+3)^2=16k^2+24k+9=4(k^2+6k+2)+1 \)

Saludos.

[Gaussa]

Ya lo veo, muchas gracias.

Saludos

[Abdulai]

Si el número es impar, es de la forma  \( n=2k+1 \), entonces  \( n^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1 \)