[lindtaylor]

Encontrar todos los homomorfismos (de anillos) entre \( A=\mathbb{Z}_{20}  \) y \( B=\mathbb{Z}_{30} \). En cada caso determine el núcleo y la imagen.

Para esto tengo pensado usar lo siguiente:

Como un homomorfismo entre \( A \) y \( B \) queda completamente determinado por \( \bar 1 \), y \( \sigma(f(\bar 1)) \) divide a \( (20,30)=10 \), se tiene que el orden de \( f(\bar 1) \) es 1, 2, 5 o 10. Con esto en mente pienso buscar los subanillos de orden \( 1,2,5 \) y \( 10 \) de \( \mathbb{Z}_{30} \) y asignar a \( f(\bar 1) \) un elemento del subanillo correspondiente, ejemplo de esto, si el subanillo de \( \mathbb{Z}_{30} \) es \( \left\{\bar 0,\bar 3,\bar 6,\ldots \bar 27\right\} \) que tiene orden 10, puedo elegir \( f(\bar 1) \) como \( \bar 3 \) o \( \bar 6 \) hasta \( \bar 27 \) etc (además del homomorfismo trivial), para así tener distintos  homomorfismos. Luego repetir lo mismo con los otros subanillos. Esto está bien?

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero en primer lugar si son homomorfismo de anillos ha de cumplirse que:

\(  f(\bar 1)=f(\bar 1\cdot \bar 1)=f(\bar 1)f(\bar 1) \)

 Por tanto los candidatos a \( f(\bar 1) \) son a lo sumo las soluciones de \( x=x^2 \) mod \( 30. \)

 Además para que la aplicación esté bien definida tiene que cumplirse que si \( f(\bar 1)=\bar a \) entonces:

 \( \dfrac{30}{mcd(a,30)} \) divide a \( 20 \)

 Si no me equivoco eso te deja sólo tres posibilidades.

Saludos.

[lindtaylor]

Hola

 Pero en primer lugar si son homomorfismo de anillos ha de cumplirse que:

\(  f(\bar 1)=f(\bar 1\cdot \bar 1)=f(\bar 1)f(\bar 1) \)

 Por tanto los candidatos a \( f(\bar 1) \) son a lo sumo las soluciones de \( x=x^2 \) mod \( 30. \)

 Además para que la aplicación esté bien definida tiene que cumplirse que si \( f(\bar 1)=\bar a \) entonces:

 \( \dfrac{30}{mcd(a,30)} \) divide a \( 20 \)

 Si no me equivoco eso te deja sólo tres posibilidades.

Saludos.

Por qué se tiene que dar esa condición para que esté bien definida?

[lindtaylor]

También otra cosa que no entiendo de este link (el cual sale el problema resuelto):

http://www.math.csusb.edu/faculty/hasan/546_Homework_3_Solutions.pdf

En el problema 18, el mismo del enunciado se afirma que \( |\varphi(1)| \) divide a \( |1| \), \( 1\in \mathbb{Z}_{20} \) (teorema). Por qué?

[Luis Fuentes]

Hola

Por qué se tiene que dar esa condición para que esté bien definida?

Si \( f(\bar 1)=\bar a \) entonces \( f(\bar x)=\overline{x\cdot a} \)

Ahora ésta definición no puede depender de la clase; es decir, debe de cumplirse que:

\( \bar x=\bar y\quad \Rightarrow{}\quad f(\bar x)=f(\bar y) \)

equivalentemente

\( \bar x-\bar y=\bar 0\quad \Rightarrow{}\quad f(\bar x-\bar y)=\bar 0 \)

equivalentemente:

\( \bar z=0\quad \Rightarrow{}\quad \overline{az}=\bar{0} \)

equivalentemente:

\( z=20k\quad \Rightarrow{}\quad 20ka=30n \)

es decir para cualquier \( k \) entero existe un entero \( n \) tal que:

\( 20ka=30n \)

equivalentemente:

\( n=\dfrac{20ka}{30} \)

es entero. Dividiendo por \( d=mcd(30,a) \):

\( n=\dfrac{20k(a/d)}{30/d}  \)

es entero para todo \( k \) y por tanto \( 30/d \) debe de dividir a \( 20 \).

De manera más rápida puede argumentarse que el homomorfismo viene inducido por uno \( f:Z\rightarrow{}Z_{30} \). Para que pase al cociente \( \bar f:Z_{20}\rightarrow{}Z_{30} \) tiene que cumplirse que \( 20Z\subset ker(f) \). Pero si \( f(x)=ax  \) entonces \( ker(f)=\dfrac{30}{mcd(a,30)}Z \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

También otra cosa que no entiendo de este link (el cual sale el problema resuelto):

http://www.math.csusb.edu/faculty/hasan/546_Homework_3_Solutions.pdf

En el problema 18, el mismo del enunciado se afirma que \( |\varphi(1)| \) divide a \( |1| \), \( 1\in \mathbb{Z}_{20} \) (teorema). Por qué?

\( |\phi(1)| \) genera un subgrupo de \( Z_{30} \) y por tanto su orden es divisor de \( 30 \).

Ese grupo además es isomorfo (por los teoremas de isomorfía) a \( Z_20/ker(f)=<\bar 1>/ker(f) \) y por tanto su orden también tiene que ser divisor de \( 20 \).

Saludos.