[numbsoul]

Sean \( f,g:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R} \) funciones continuas tales que \( 0<f(x)\leq kg(x)\;\forall x\in [0,1] \),donde \( k>0 \) es una constante.Sea \( X=(X_{1},\ldots,X_{n}) \) un punto al azar elegido en \( [0,1]^{n} \).Definimos las variables aleatorias \( Y_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{f(X_{i})}{n} \) y \( Z_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{g(X_{i})}{n} \).

(a)Probar que \( Y_{n}\longrightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;dx \) y \( Z_{n}\longrightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}g(x)\;dx \) en probabilidad.

(b)Probar que \( \displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\int_{D_{n}}\dfrac{f(x_{1})+\ldots+f(x_{n})}{g(x_{1})+\ldots+g(x_{n})}\;dx_{1}\ldots dx_{n}=\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;dx}{\displaystyle\int_{0}^{1}g(x)\;dx} \),donde \( D_{n}=[0,1]^{n} \).

Tengo algunas dudas en la segunda parte,¿Cómo lo resolverían?

[numbsoul]

Tenemos que \( \dfrac{Y_{n}}{Z_{n}}\longrightarrow \dfrac{\int_{0}^{1}f(x)\;dx}{\int_{0}^{1}g(x)\;dx} \) en probabilidad.

Y también \( E(\dfrac{Y_{n}}{Z_{n}})=\displaystyle\int_{D_{n}}\dfrac{f(x_{1})+\ldots+f(x_{n})}{g(x_{1})+\ldots+g(x_{n})}\;dx_{1}\ldots dx_{n} \).

El teorema de convergencia dominada nos permite concluir que \( E(\dfrac{Y_{n}}{Z_{n}})\longrightarrow \dfrac{\int_{0}^{1}f(x)\;dx}{\int_{0}^{1}g(x)\;dx} \),pero no sé si puedo aplicar este teorema.Sé que se aplica cuando la convergencia es casi segura.

[numbsoul]

Creo que igual podemos asegurar la convergencia casi segura de \( (Y_{n}) \) y \( (Z_{n}) \),puesto que \( (f(X_{n})) \) es una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y con varianza y esperanza finitas.