[Piockñec]

Hola,
estoy terminándome de preparar mi final de mañana de estadística y me he fijado que siempre que me piden la esperanza, recurro a la función de masa/densidad (a la de probabilidad) y:
\( \displaystyle\int_{-inf}^{+inf}xf(x)dx \)
Y entonces me pregunté:

Si tengo la función de distribución, y me piden la esperanza, ¿tengo necesariamente que derivar la función de distribución para obtener la de masa, y luego multiplicarla por x e integrarla? ¿O existe alguna manera de hallar la esperanza a partir de la función de distribución?

Muchas gracias por adelantado

[numbsoul]

¿Te refieres al caso en que te dan la función de distribución acumulada \( F \) de una variable absolutamente continua y no deseas derivarla?

Puedes utilizar la fórmula \( E(X)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}(1-F_{X}(x))\;dx-\displaystyle\int_{-\infty}^{0}F_{X}(x)\;dx \).

Para su demostración,mira la página 139(y afines si es necesario) del siguiente PDF.

[Piockñec]

Wow, qué apuntes más maravillosos, puedo quedármelos? Sé que no volveré a dar estadística, pero la verdad es que, acabar con una buena comprensión de la asignatura, sería de lo más gratificante.
Vi la demostración, sencilla y curiosa, anima a trabajar con expresiones generales, como la misma definición de esperanza, para obtener expresiones aún más interesantes.

Me sirvió de mucho, muchísimas gracias numbsoul

[Piockñec]

Lo he aplicado a la siguiente función, y no me ha funcionado. Si puedes decirme en qué me he equivocado, te lo agradecería (probablemente en la interpretación de la expresión...):

\( F_X(x)=\begin{Bmatrix}{0}&\mbox{si}& x<0\\\frac{2x}{3} & \mbox{si}& 0<x<1\\1-e^{-(x-1)} & \mbox{si}& x>1\end{matrix} \)

Derivando y aplicando la expresión típica de la esperanza, me da de valor 1/3, que bien podría ser (está en el rango de valores posibles... sí, más o menos, creo yo).

Pero al aplicar la expresión que pusiste, resulta que \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}(1-e^{-(x-1)})dx \), la integral no converge, o al menos eso pienso yo al tender la x (de integrar ese 1) a infinito.
Por tanto, ¿es que no podría aplicarse siempre ese método, que se me ha olvidado integrar, o que he interpretado mal tu expresión? Muchas gracias de antemano

[Piockñec]

  quita, quita, ni me respondas, es todo a la vez.
Soluciono esto y te cuento, perdona!

[Piockñec]

Vale, me da 2/3.
He revisado mi antigua forma de hacerlo, y tenía un fallo.
Qué alegría, incluso te da menos fallos. ¡Muchas gracias!