[jpl]

Hola, a ver si podeis ayudarme con la siguiente demostracion que estoy intentando, es una distribución discreta con la siguiente función de masa de probabilidad:

\( P[X=k] = \frac{n}{(k-n)!}k^{k-n-1}e^{-\lambda k}\lambda^{k-n}\quad k = n, n + 1, \dots \quad 0 < \lambda < 1 \)

[pierrot]

Hola

Bienvenido al foro. ¡Felicitaciones por escribir en LaTeX tu primer mensaje! No muchos usuarios se toman esa preocupación, así que empiezas muy bien. Supongo que ya has visto el instructivo para escribir las fórmulas matemáticas. Si es así, igual te indico el link para que lo tengas a mano en futuras intervenciones. Un comentario nada más: para poner puntos suspensivos puedes usar \dots en vez de escribir directamente: ... 

Por lo que nos cuentas, tu variable \( X \) tiene como función de probabilidad puntual:

\( \displaystyle P[X=k]= \frac{n}{(k-n)!}\cdot k^{k-n-1}e^{-\lambda k}\lambda^{k-n},\quad k = n, n + 1,\dots \quad 0 < \lambda < 1 \)

Para simplificar la notación, llamemos \( \displaystyle A(k,n)=\frac{n}{(k-n)!}\cdot k^{k-n-1} \) de manera que \( P[X=k]= A(k,n)\cdot e^{-\lambda k}\lambda^{k-n} \). Sea \( \alpha=\lambda e^{-\lambda} \). Como \( P \) es una función de masa de probabilidad, tiene que cumplir \( \sum_{k=n}^{+\infty}P[X=k]=1 \) por lo que:

\( \displaystyle 1=\sum_{k=n}^{+\infty}P[X=k]=\sum_{k=n}^{+\infty}A(k,n)\cdot \underbrace{e^{-\lambda k}\lambda^k}_{=\alpha^k}\lambda^{-n}\Longrightarrow \fbox{$\displaystyle\lambda^n=\sum_{k=n}^{+\infty}A(k,n)\cdot \alpha^k$}\hspace{4cm}(1) \)

Por otra parte, lo que nosotros queremos calcular es:

\( \displaystyle \mu=\sum_{k=n}^{+\infty}k\cdot P[X=k]=\sum_{k=n}^{+\infty}kA(k,n) \underbrace{e^{-\lambda k}\lambda^k}_{=\alpha^k}\lambda^{-n} \)

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por \( \lambda^n \):

\( \fbox{$\displaystyle\lambda^n\mu=\sum_{k=n}^{+\infty}kA(k,n)\cdot \alpha^k$}\hspace{4cm}(2) \)

Ahora si derivamos \( (1) \) con respecto de \( \alpha \), obtenemos:

\( \displaystyle n\lambda^{n-1}\frac{\partial \lambda}{\partial \alpha}=\sum_{k=n}^{+\infty}A(k,n)\cdot k\alpha^{k-1} \)

Multiplicando todo por \( \alpha \):

\( \displaystyle \alpha n\lambda^{n-1}\frac{\partial \lambda}{\partial \alpha}=\sum_{k=n}^{+\infty}A(k,n)\cdot k\alpha^{k} \)

Pero por \( (2) \) lo que está a la derecha es igual a \( \lambda^n\mu \). Luego,

\( \displaystyle \mu=n\frac{\alpha}{\lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial \alpha} \)

Lo único que nos es desconocido es \( \displaystyle \frac{\partial \lambda}{\partial \alpha} \) pero lo podemos calcular por derivación implícita considerando \( f(\alpha,\lambda)=\alpha-\lambda e^{-\lambda} \) y derivando con respecto de \( \alpha \) la ecuación \( f\big(\alpha,\lambda(\alpha)\big)=0 \).

Saludos

[jpl]

Lo primero, muchas gracias por  invertir tu tiempo en responderme, lo segundo, gracias por lo del consejo de \dots para poner los puntos suspensivos, no me di cuenta que existía tal comando, era la primera vez que escribía en LateX, la verdad que no es complicado.

Respecto al desarrollo que expones no entiendo como he de hacer la derivada \( \frac{d \lambda}{d \alpha} \) con la función que me indicas, no acabo de entender el \( \left \lambda(  \right\alpha) \), lambda se comporta como una función?

[pierrot]

Respecto al desarrollo que expones no entiendo como he de hacer la derivada \( \frac{d \lambda}{d \alpha} \) con la función que me indicas, no acabo de entender el \( \left \lambda(  \right\alpha) \), lambda se comporta como una función?

Claro, es que es una función. El problema está en que no podemos llegar a su expresión explícita, porque de la ecuación \( \alpha-\lambda e^{-\lambda}=0 \) no veo cómo despejar \( \lambda \). Si tú ves alguna forma de poner \( \lambda \) en términos de \( \alpha \) mediante algún cambio de variable, dímelo. Yo no lo veo. Pero vía el teorema de la función implícita, si bien no conocemos una fórmula explícita para \( \lambda(\alpha) \) podemos llegar a conocer su derivada (como función de ella misma) que es todo lo que nos interesa.

\( \begin{align*}f\big(\alpha,\lambda(\alpha)\big)&=0\\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \alpha}+\frac{\partial f}{\partial \lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial \alpha}&=0\\1+e^{-\lambda}(\lambda-1)\frac{\partial \lambda}{\partial \alpha}&=0\\\frac{\partial \lambda}{\partial \alpha}&=\frac{1}{e^{-\lambda}(1-\lambda)}\end{align} \)

Pero como \( \alpha=\lambda e^{-\lambda} \) entonces \( \displaystyle e^{-\lambda}=\frac{\alpha}{\lambda} \) y por lo tanto:

\( \displaystyle \frac{\partial \lambda}{\partial \alpha}=\frac{\lambda}{\alpha}\frac{1}{1-\lambda} \)

Saludos

[jpl]

Muchas gracias compañero, saludos!!

[pierrot]

Muchas gracias compañero, saludos!!

De nada. Como ejercicio adicional, puedes intentar hallar la varianza de \( X \).