Hola!
La función generadora de momentos de una variable aleatoria se define como: \( M_X(t) := E[e^{Xt}] \)
Usa la siguiente propiedad:
\( M_{aX+bY}(t)=M_X(at)M_Y (bt) \)
para cualesquiera que sean \( a,b\in \mathbb{R} \) y \( X,Y \) variables aleatorias independientes no necesariamente igual distribuidas. Esta propiedad es casi trivial usando la definición, e independencia de las variables.
En tu caso
\( M_Z(t)= M_{X-Y+m}(t)=M_X (t) M_Y(-t) M_m(t) \)
donde \( m \) simboliza la variable aleatoria constante, luego \( M_m(t)=E[e^{mt}]=e^{mt} \).
Finalmente, sabemos (o si no lo calculas) que para la binomial:
\( M_{Bin(n,p)}(t)=(1-p+pe^t)^n \)
Por lo tanto, sustituyendo:
\( M_X(t)= (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^t)^n = \frac{1}{2^n} (1+e^t)^n \)
\( M_Y(-t)= (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-t})^m = \frac{1}{2^m} (1+e^{-t})^m \)
todo junto:
\( M_Z(t)= \frac{1}{2^n} (1+e^t)^n \frac{1}{2^m} (1+e^{-t})^m e^{mt} = \frac{1}{2^{n+m}} (1+e^t)^{n+m} \)
Así pues:
\( M_Z(t) = ( 1- \frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^t)^{n+m} \)
Observa que \( M_Z(t) \) coincide con la función generadora de momento de una \( Bin(n+m,1/2) \) por lo tanto \( Z=X-Y+m \sim Bin(n+m,1/2) \)
En este último paso he usado la propiedad de la función generadora de momentos siguiente:
Si dadas dos variables aleatorias \( X,Y \) tales que \( M_X(t) = M_Y(t) \) para todo \( t \) entonces \( F_X(x)=F_Y(x) \) para todo \( x \), es decir, tienen la misma distribución.
Espero que haya servido.
Saludos!
