[RDC]

Se presenta la Hipótesis H, que propone una relación entre la existencia de soluciones modulares de una ecuación diofántica homogénea del tipo \( a^n + b^n + \ldots = y^n \) y la inexistencia de soluciones enteras no triviales.

Hipótesis (H): Si existe al menos un número primo \( p \) tal que el número de soluciones \( N_p \) de la congruencia \( a^n + b^n + \ldots \equiv y^n \mod p \) no es congruente con 0 módulo \( p \), es decir, \( N_p \not\equiv 0 \mod p \), entonces la ecuación original no tiene soluciones enteras no triviales.

Contrapositiva (CP): Si una ecuación \( a^n + b^n + \ldots = y^n \) tiene soluciones enteras no triviales, entonces para todo primo \( p \), se cumple \( N_p \equiv 0 \mod p \).

2. Metodología y Resultados Iniciales

Se contrastó la hipótesis H con ecuaciones de solubilidad conocida, utilizando conteo directo, residuos y el Teorema de Chevalley-Warning. Resultados clave:




Cálculos confirmados: 

- \( N_7 = 55 \), \( N_{13} = 109 \) para \( a^3 + b^3 = c^3 \) 
- \( N_5 = 17 \) para \( a^4 + b^4 = c^2 \) 


3. Análisis Profundo: Ecuaciones de Fermat \( a^n + b^n = c^n \), \( n > 2 \)

3.1 Contexto:

Según el Último Teorema de Fermat, estas ecuaciones no tienen soluciones enteras no triviales para \( n > 2 \). Por H, debe haber primos \( p \) tales que \( N_p \not\equiv 0 \mod p \).

3.2 Teorema Caracterizador: 

Sea \( n > 2 \), y \( N_p \) el número de soluciones de \( a^n + b^n \equiv c^n \mod p \). Entonces:

1. Si \( \gcd(n, p-1) = 1 \), entonces \( N_p = p^2 \Rightarrow N_p \equiv 0 \mod p \).

2. Si \( \gcd(n, p-1) = d > 1 \), entonces \( N_p \not\equiv 0 \mod p \).

3.3 Demostración parte 1:

Si \( \gcd(n, p-1) = 1 \), entonces \( x \mapsto x^n \) es una permutación de \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \).
 
- Para \( c=0 \), soluciones: \( a = -b \Rightarrow p \) soluciones. 

- Para \( c \neq 0 \), la ecuación \( x^n + y^n = 1 \) tiene \( p(p-1) \) soluciones.
 
- Total: \( N_p = p + p(p-1) = p^2 \Rightarrow N_p \equiv 0 \mod p \).

3.4 Demostración parte 2:

Si \( \gcd(n, p-1) = d > 1 \), entonces \( x^n \) no es biyectiva. 

Se tiene: 

\[ N_p \equiv 1 - k - S \mod p \]  donde \( S \) es una suma de Sumas de Jacobi, y \( k \in \{0,n\} \) según paridad de \( (p-1)/d \). 

Según resultados de Weil y Stickelberger, \( S \not\equiv 1 - k \mod p \), por lo que \( N_p \not\equiv 0 \mod p \).

3.5 Primos H-Irregulares:

Los primos para los cuales \( p-1 \) es divisible por un factor primo de \( n \) (i.e., \( p \equiv 1 \mod q \)) son los que permiten irregularidades. Llamamos H-irregulares a estos primos.

4. Prueba de Estrés: Curva de Selmer

Ecuación: \( 3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0 \). 
Tiene soluciones locales (en \( \mathbb{R} \) y en \( \mathbb{Q}_p \) para todo \( p \)), pero no globales.

Predicción de H: Debe existir algún \( p \) con \( N_p \not\equiv 0 \mod p \).

Resultados: Para \( p = 2,3,5,7,11,13,17,19 \), se tiene \( N_p \equiv 0 \mod p \). 

Pero para \( p = 23 \): 

\[ N_{23} = 515 = 22 \times 23 + 9 \Rightarrow N_{23} \equiv 9 \mod 23 \neq 0 \]

Conclusión: H predice correctamente la ausencia de solución global. Muestra sensibilidad incluso cuando hay soluciones locales en todos los \( p \).


un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Se presenta la Hipótesis H, que propone una relación entre la existencia de soluciones modulares de una ecuación diofántica homogénea del tipo \( a^n + b^n + \ldots = y^n \) y la inexistencia de soluciones enteras no triviales.

Hipótesis (H): Si existe al menos un número primo \( p \) tal que el número de soluciones \( N_p \) de la congruencia \( a^n + b^n + \ldots \equiv y^n \mod p \) no es congruente con 0 módulo \( p \), es decir, \( N_p \not\equiv 0 \mod p \), entonces la ecuación original no tiene soluciones enteras no triviales.

 La ecuación \( x^5+y^5+z^5=t^5 \) tiene soluciones enteras no triviales. Por ejemplo basta tomar \( x=-y \) , \( z=t \). Sin embargo se puede ver que módulo \( 11 \) tiene un número de soluciones que no es múltliplo de \( 11 \). Esa hipótesis/conjetura falla.

 Este resultado:

3.2 Teorema Caracterizador: 

Sea \( n > 2 \), y \( N_p \) el número de soluciones de \( a^n + b^n \equiv c^n \mod p \). Entonces:

1. Si \( \gcd(n, p-1) = 1 \), entonces \( N_p = p^2 \Rightarrow N_p \equiv 0 \mod p \).

2. Si \( \gcd(n, p-1) = d > 1 \), entonces \( N_p \not\equiv 0 \mod p \).

 Creo que es cierto. La primera parte es trivial.

 La segunda es más delicada, pero creo que es cierta.

 Sea como sea no dice ni prueba nada sobre la relación entre el número de soluciones módulo \( p \) y el hecho de que exista una solución no trivial en los enteros.

 Luego hay alguna cosa poco clara en lo que presentas. Enuncias la hipótesis para ecuaciones homogéneas pero luego la aplicas para \( a^4+b^4=c^2 \) que NO es homogénesa. Entonces no se si querías ir más lejos con esa conjetura...

Saludos.

[RDC]

Hola Luís,

 La ecuación \( x^5+y^5+z^5=t^5 \) tiene soluciones enteras no triviales. Por ejemplo basta tomar \( x=-y \) , \( z=t \). Sin embargo se puede ver que módulo \( 11 \) tiene un número de soluciones que no es múltliplo de \( 11 \). Esa hipótesis/conjetura falla.

Sí, tienes razón, si lo interpretas literalmente entonces dicha ecuación sí tiene soluciones enteras no triviales, pero estructuralmente es trivial y no se suele interpretar así -creo que se asume que $$x^5+b^5+z^5=t^5$$ no tiene soluciones no triviales, pero no está claro y se investiga.

Entonces, ¿en la hipótesis debo indicar que ésta se aplica en las ecuaciones no estructuralmente triviales? Quizás debería poner una nota del estilo:

Nota sobre Soluciones No Triviales :

En el marco de la Hipótesis \( H \) y su contrapositiva (CP), se distingue entre soluciones enteras triviales y no triviales para una ecuación diofántica \( E(X_1,\ldots,x_k=0 \)..

· Una solución \( (x_1,\ldots,x_k)\in \Bbb Z^k \) se considera trivial si satisface la ecuación principalmente debido a:

- Identidades algebraicas obvias, como cancelaciones directas (ej. \( x^n+(-x)^n=0 \)).

- Reducciones tautológicas (ej. \( c^5=c^5 \), como ocurre en la solución \( (-b, b, c, c) \) para \( a^5+b^5+c^5=d^5 \)).

- La presencia de ceros que simplifican drásticamente la ecuación (ej. \( x_1=0 \) si esto trivializa la dependencia de \( x_1 \)).

· Una solución se considera no trivial para los propósitos de esta hipótesis si representa un equilibrio numérico genuino entre los términos de la ecuación. Operativamente, esto generalmente implica buscar soluciones que satisfacen:

- No Nulas: \( x_i\neq 0 \) para todo \( i \).

- Primitivas: \( gcd(x_1, x_2, \ldots, x_k) = 1. \)

La Hipótesis H y CP se refieren específicamente a la existencia o ausencia de estas soluciones enteras no triviales.

 Este resultado:

3.2 Teorema Caracterizador: 

Sea \( n > 2 \), y \( N_p \) el número de soluciones de \( a^n + b^n \equiv c^n \mod p \). Entonces:

1. Si \( \gcd(n, p-1) = 1 \), entonces \( N_p = p^2 \Rightarrow N_p \equiv 0 \mod p \).

2. Si \( \gcd(n, p-1) = d > 1 \), entonces \( N_p \not\equiv 0 \mod p \).

 Creo que es cierto. La primera parte es trivial.

 La segunda es más delicada, pero creo que es cierta.

 Sea como sea no dice ni prueba nada sobre la relación entre el número de soluciones módulo \( p \) y el hecho de que exista una solución no trivial en los enteros.

 Luego hay alguna cosa poco clara en lo que presentas. Enuncias la hipótesis para ecuaciones homogéneas pero luego la aplicas para \( a^4+b^4=c^2 \) que NO es homogénesa. Entonces no se si querías ir más lejos con esa conjetura...

Saludos.

Bueno, la verdad es que $$a^4+b^4=c^2$$ había sido un resultado preliminar al establecimiento de la hipótesis y como veía que cuadraba lo puseindicando como es posible que la hipótesis se pueda extender a otras ecuaciones diofánticas como esa. Pero de momento me estoy centrando en las ecuaciones a^n+...x^n=y^n que no sean triviales, en el sentido que acabo de definir arriba.

Saludos.
Mensaje corregido desde la administración. Por favor no olvides usar LaTeX para las fórmulas.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, tienes razón, si lo interpretas literalmente entonces dicha ecuación sí tiene soluciones enteras no triviales, pero estructuralmente es trivial y no se suele interpretar así -creo que se asume que $$x^5+b^5+z^5=t^5$$ no tiene soluciones no triviales, pero no está claro y se investiga.

Entonces, ¿en la hipótesis debo indicar que ésta se aplica en las ecuaciones no estructuralmente triviales? Quizás debería poner una nota del estilo:

Tu verás... Tu hipótesis (conjetura más bien) tiene mucho de brindis al sol. Las dos proposiciones sobre el número de soluciones de \( x^n+y^n=z^n \) módulo \( p \), no dependen en principio de si la ecuación tiene o no soluciones enteras no triviales. De hecho no se usa para nada eso en la demostración. A ti te gustaría que pudiese relacionarse una cosa con otra y conjeturas esa relación. Pero no pruebas nada al respecto.

Por otra parte:

\( x^5+y^5+z^5+t^5=u^5 \)

tiene \( 19251 \) soluciones módulo \( 11 \); pero tal número de soluciones no es divisible por \( 11 \). Sin embargo:

\( 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 =144^5 \)

Este ejemplo fue descubierto en 1966 por I. J. Lander y T. R. Parkin. Una de las publicaciones más cortas de la historia supongo...



Saludos.

[RDC]

Si, es un contraejemplo a la hipótesis. Pues, nada, refutada.

Gracias Luís.

Un saludo

[RDC]

No sé porqué, pero también se me pasó como contraejemplo p=5 en $$a^4+b^4+c^4=d^4$$ (solución de Elkies/Frye).

Visto esto, me he dado cuenta que ambas soluciones tienen una peculiaridad: sus variables no son corpimas entre sí. Entonces, en base a esta observación me planteo reformular la hipótesis H, de tal modo:


Definición: Una solución entera $$(x_1, ..., x_k)$$ a $$E(x_1, ..., x_k)=0$$ se llama totalmente coprima y no nula (TCNN) si $$x_i\neq 0$$ para todo $$i$$ y $$gcd(x_i, x_j)=1$$ para todo $$i\neq j$$.

Hipótesis H_cp: Dada una ecuación diofántica homogénea $$E(x_1, ..., x_k)= 0$$, si existe al menos un número primo p tal que el número total de soluciones $$N_p$$ a la congruencia $$E\equiv{0}$$ (mod p) no es divisible por p ($$N_p \equiv{/ 0}$$ (mod p)), entonces la ecuación E=0 carece de soluciones enteras totalmente coprimas y no nulas (TCNN).

Contrapositiva CP_cp: Si una ecuación diofántica homogénea $$E=0$$ posee una solución entera totalmente coprima y no nula (TCNN), entonces para todo número primo p, el número de soluciones $$N_p$$ a la congruencia $$E\equiv{0}$$ (mod p) debe ser divisible por p ($$N_p \equiv{0}$$ (mod p)).

un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Definición: Una solución entera $$(x_1, ..., x_k)$$ a $$E(x_1, ..., x_k)=0$$ se llama totalmente coprima y no nula (TCNN) si $$x_i\neq 0$$ para todo $$i$$ y $$gcd(x_i, x_j)=1$$ para todo $$i\neq j$$.

Hipótesis H_cp: Dada una ecuación diofántica homogénea $$E(x_1, ..., x_k)= 0$$, si existe al menos un número primo p tal que el número total de soluciones $$N_p$$ a la congruencia $$E\equiv{0}$$ (mod p) no es divisible por p ($$N_p \equiv{/ 0}$$ (mod p)), entonces la ecuación E=0 carece de soluciones enteras totalmente coprimas y no nulas (TCNN).

El problema ahora es que es bastante complicado intentar buscar ejemplos no triviales para poner a prueba esta versión de la conjetura. Básicamente porque no se sabe demasiado sobre la existencia o no de soluciones de ecuaciones diofánticas homogéneas, es decir, sobre la generalización de la ecuación de Fermat a varias variables.

Los contraejemplos a la conjetura de Euler se han encontrado para \( k=4,5 \) pero para \( k\geq 6 \) no se han encontrado pero tampoco se sabe si es cierta.

Incluso los contraejemplos para \( k=4,5 \) no son fáciles de encontrar y no tengo claro si se sabe si existen soluciones donde cada par de variables son coprimas.

Por otro lado más allá de los casos que cubre el Teorema de Chevalley-Warning tampoco es fácil saber si ese tipo de ecuaciones cumplen o no la condición del número de soluciones módulo \( p \). Evidentemente si no lo cumple para algún \( p \) pues listo; pero si no se encuentra, si uno va probando y \( N_p \) siempre es múltiplo de \( p \) probar que es cierto para todo \( p \) es delicado. Incluso en el caso del Teorema de Fermat, para el caso \( \gcd(n, p-1) = d > 1 \) me he creído la prueba, pero no le analizado ni verificado en detalle y desde luego no es inmediato. Usa unos resultados del propio Wiles sobre curvas elípticas en cuerpos finitos.

Por ahora no puedo decir más al respecto.

Si tengo tiempo (y ganas  ), intento bucear un poco más sobre las cosas que se saben en las ecuaciones diofánticas homogéneas.

Saludos.

[RDC]

Hola

Definición: Una solución entera $$(x_1, ..., x_k)$$ a $$E(x_1, ..., x_k)=0$$ se llama totalmente coprima y no nula (TCNN) si $$x_i\neq 0$$ para todo $$i$$ y $$gcd(x_i, x_j)=1$$ para todo $$i\neq j$$.

Hipótesis H_cp: Dada una ecuación diofántica homogénea $$E(x_1, ..., x_k)= 0$$, si existe al menos un número primo p tal que el número total de soluciones $$N_p$$ a la congruencia $$E\equiv{0}$$ (mod p) no es divisible por p ($$N_p \equiv{/ 0}$$ (mod p)), entonces la ecuación E=0 carece de soluciones enteras totalmente coprimas y no nulas (TCNN).

El problema ahora es que es bastante complicado intentar buscar ejemplos no triviales para poner a prueba esta versión de la conjetura. Básicamente porque no se sabe demasiado sobre la existencia o no de soluciones de ecuaciones diofánticas homogéneas, es decir, sobre la generalización de la ecuación de Fermat a varias variables.

Los contraejemplos a la conjetura de Euler se han encontrado para \( k=4,5 \) pero para \( k\geq 6 \) no se han encontrado pero tampoco se sabe si es cierta.

Incluso los contraejemplos para \( k=4,5 \) no son fáciles de encontrar y no tengo claro si se sabe si existen soluciones donde cada par de variables son coprimas.

Por otro lado más allá de los casos que cubre el Teorema de Chevalley-Warning tampoco es fácil saber si ese tipo de ecuaciones cumplen o no la condición del número de soluciones módulo \( p \). Evidentemente si no lo cumple para algún \( p \) pues listo; pero si no se encuentra, si uno va probando y \( N_p \) siempre es múltiplo de \( p \) probar que es cierto para todo \( p \) es delicado. Incluso en el caso del Teorema de Fermat, para el caso \( \gcd(n, p-1) = d > 1 \) me he creído la prueba, pero no le analizado ni verificado en detalle y desde luego no es inmediato. Usa unos resultados del propio Wiles sobre curvas elípticas en cuerpos finitos.

Por ahora no puedo decir más al respecto.

Si tengo tiempo (y ganas  ), intento bucear un poco más sobre las cosas que se saben en las ecuaciones diofánticas homogéneas.

Saludos.

Hola Luís, gracias por tus apreciaciones y comentarios.