[surrealfrog]

Se tiene una barra hueca, dentro de la cual se coloca dos cuerpos de masas desconocidas, y luego se sellan los extremos de la barra. ¿Cómo se puede determinar la posición del centro de masa de la barra?

[onubask]

Una vez colocados esos dos cuerpos de masa desconocida, ¿permanecen fijos e inmoviles en la misma posición? Los cuerpos colocados están cada uno en un extremo de la barra?

[darkxer0x]

¿Cómo se puede determinar la posición del centro de masa de la barra?

Como siempre, partes de la definición de dentro de masa: \vec{r_{CDM}} = \( \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{r_i m_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{m_i}} \)
En principio la barra es homogenea y eso, asi que estará en centro. Por lo que poniendo el origen en el centro de la barra, tu centro de masa será: \( \vec{r_{CDM}} = \displaystyle\frac{x_1 m_1 + x_2 m_2}{m_1 + m_2} \)
x_1: Distancia de la masa 1 al centro
x_2: Distancia de la masa 2 al centro
m_1 : masa 1
m_2: masa 2

Ahora solo tienes que calcular x(t).

[surrealfrog]

Se debe deducir si es que permanecen fijos o no.
De hecho, lo que se pide es calcular el centro de masas de la barra en posición horizontal.
Si los cuerpos tuvieras masas conocidas y su posición sería conocida, el resultado sería muy fácil, nos bastaría aplicar las ecuaciones de la definición del centro de masas, pero aquí no se pide aplicar mecánicamente las ecuaciones, sino algo más de ingenio y creatividad

[Richard R Richard]

Otra perlita antiquísima.

Lo que han calculado aquí

 el centro de la barra, tu centro de masa será: \( \vec{r_{CDM}} = \displaystyle\frac{x_1 m_1 + x_2 m_2}{m_1 + m_2} \)

Es el centro de masas como si la barra hueca no tuviera masa...  su masa sería $$m_b$$ y su longitud $$L$$.. y desprecio la masas de los sellos de los extremos.
Es innecesario usar vectores para trabajar en una dimensión.

$$x_{CM}=\dfrac{x_1 m_1 + x_2 m_2+\frac12L m_b}{m_1 + m_2+m_b}$$

Esto da la posición del centro de masas respecto de uno de los dos extremos tomado como referencia.

Pero en la práctica, si las masas no se mueven respecto de la barra,  conviene tomar dos sogas de masa despreciable frente a las otras masas involucradas, ambas de igual longitud, anclarlas en los extremos de la barra y colgarla de un único punto en el que se atan las dos sogas, la gravedad hará el resto, equilibrará momentos, inclinando la barra si efectivamente el CM no está a mitad de la barra, pero de igual manera con una plomada colgada del mismo punto  indicando la vertical, la intersección entre la soga de la plomada y la barra indicará el punto donde se halla el centro de masas sobre la barra.

Hay unas hipótesis a tener en cuenta( por variaciones respecto de la teoría) la longitud de sogas exactamente iguales, la barra como una abstracción  lineal y las masas puntuales sobre el segmento considerado como barra , no hay flexión de la barra y la  soga inextensible a la carga.