[lcgs]

Tengo un ejercicio que dice así:
-Encuentre los puntos P y Q sobre la parábola \( y=1-x^2 \) de modo que el triángulo ABC formado por el eje x y las rectas tangentes en P y Q sean un triangulo equilátero.

Y aquí la respuesta que peor aun, no la entiendo para nada:
-Sea a la coordenada x de Q. Dado que la derivada de \( y=1-x^2 \) es \( y'=-2x \), la pendiente en Q es \( -2a \). Pero dado que el triangulo es equilátero, \( \overline{AO} / \overline{OC}  = \sqrt{3} / 1 \), por lo que la pendiente en Q es \(  -\sqrt{3}  \). Por lo tanto, debemos tener que \( -2a=- \sqrt{3}\Rightarrow{ a = \sqrt{3} / 2}  \). Así, el punto Q tiene coordenadas \( ( \sqrt{3} / 2 , 1-( \sqrt{3} / 2)^2) \), y por simetría, el punto P tiene coordenada \( (-  \sqrt{3} / 2,1/4) \) .

La cuestión aquí es, de donde sale esta igualdad ( \(  \overline{AO} / \overline{OC}  = \sqrt{3} / 1  \)), y luego agregan que la pendiente en el punto Q es \(  -\sqrt{3} \), desde aqui ya todo no es igual para mi!.. agradecería ayuda..

[aladan]

Hola lcgs

No sé si entiendo bien las dudas que tienes, supongo sabes el significado de la derivada en un punto de la parábola, así como que un triángulo equilátero tiene sus 3 lados iguales y sus ángulos también son  iguales, cada uno de ellos de 60º.

Te sugiero identifiques previamente la posición los vértices del triángulo, por ejemplo B y C sobre el eje X y A como intersección de las tangentes en P y Q.

Después de eso si continuas sin entender, vuelve a preguntar.

Saludos     

[lcgs]

Gracias amigo por la respuesta, pero en este instante acabo de entender por completo la respuesta, es mas, hasta como lo había planteado yo, y como lo realice estuvo bien, solo tuve un pequeño error en una simple suma y por eso al gratificarlo no era lo que yo esperaba....

Me decidi a hacer la pregunta en el foro por que alguien a que consulte me desvío por completo en vez de orientarme..